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Q est dense dans R



  1. #1
    a91

    Q est dense dans R


    ------

    Bonjour tout le monde!
    Tout est dans le titre
    Cependant j'aimerais quelques pistes pour pouvoir le démontrer !Pour l'instant je rame complètement...-_- une petite lumière serait la bienvenue !
    Merci d'avance !

    -----

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  4. #2
    ericcc

    Re : Q est dense dans R

    Par exemple entre deux réels il y a au moins un rationnel ?

    Et ici post 11 http://forums.futura-sciences.com/ma...lassiques.html

  5. #3
    un_homme

    Re : Q est dense dans R

    Bonjour,

    Tu peux aussi te servir des nombres décimaux de la forme a*10^n avec a dans N et n dans Z.

  6. #4
    a91

    Re : Q est dense dans R

    Merci pour vos réponses ! J'ai terminé ^^!

    Cependant j'ai encore une question, visiblement j'ai un problème avec ces histoires de densités ...

    soit x=k/2n
    x est appelé nombre dyadique (k€z)(n€N)
    x est un nombre décimal et pour tout entier naturel non nul on a l'inégalité (1/2n)<1/n

    Montrer alors que l'ensemble des nombres dyadiques est dense dans R...

    Ce que j'ai essayé:

    On pose A={k/2n,k€Z,n€N}
    -l'ensemble des nombres dyadiques est inclus dans R car ce sont des nombres décimaux
    -Montrons qu'entre deux réels distincts, on a un nombre dyadique

    Soit (x,y)€R² x<y
    montrons que il existe k€Z et n€N tel que x<k/2n<y

    Après ca,... je vois pas comment faire pour y arriver...Une piste peut-etre ?
    Merci !

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  8. #5
    g_h

    Re : Q est dense dans R

    Une démonstration classique est que tu peux approcher n'importe quel réel x par une suite de rationnels :

    Soit x dans R, et soit la suite un définie par :

    (ou E est la partie entière)

    c'est une suite de rationnels qui converge vers x (à montrer!)

    EDIT : j'avais pas vu que tu avais eu ta réponse... j'aurais du lire en détail =) désolé

  9. #6
    g_h

    Re : Q est dense dans R

    En fait c'est pas perdu, reprends là démonstration avec :


    et ça devrait marcher, non ?

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  11. #7
    a91

    Re : Q est dense dans R

    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    En fait c'est pas perdu, reprends là démonstration avec :


    et ça devrait marcher, non ?
    Pour l'ensemble des nombres dyadiques ou pour les rationnels ?

  12. #8
    Ising

    Re : Q est dense dans R

    Pour les nombres dyadiques, c'est facile. Tu veux montrer que .

    Soit et donnés. Tu sais que, pour tout n, il existe un k tel que:

    Maintenant:

    Il suffit maintenant de s'assurer que n est suffisament grand, pour que .

  13. #9
    g_h

    Re : Q est dense dans R

    Citation Envoyé par a91 Voir le message
    Pour l'ensemble des nombres dyadiques ou pour les rationnels ?
    Pour les 2

  14. #10
    thepasboss

    Re : Q est dense dans R

    On peut aussi dire que l'ensemble des nombres dyadiques est un sous groupe additif de R qui n'est pas de la forme a*Z et est donc dense dans R non ?

  15. #11
    ericcc

    Re : Q est dense dans R

    oui.........

  16. #12
    ichigo01

    Re : Q est dense dans R

    Citation Envoyé par g_h Voir le message
    Une démonstration classique est que tu peux approcher n'importe quel réel x par une suite de rationnels :

    Soit x dans R, et soit la suite un définie par :

    (ou E est la partie entière)

    c'est une suite de rationnels qui converge vers x (à montrer!)
    Bonjour ,

    est une suite qui tend vers x ( je le comprend grâce à des exemples comme le nombre ) , mais est ce que quelqu'un connait la démonstration qui prouve que cette propriété soit vrais pour tout x c'est à dire la généraliser !
    Merci !

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  18. #13
    God's Breath

    Re : Q est dense dans R

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    est une suite qui tend vers x
    Par définition de la partie entière : (la deuxième inégalité est stricte, mais cela ne sert pas ici...) c'est-à-dire , dont on déduit , ou encore .
    Cet encadrement prouve que la suite converge vers .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #14
    ichigo01

    Re : Q est dense dans R

    Merci beaucoup !
    Autre chose (pour l'occasion) : comment prouver que et que cette suite est croissante ( peut on le prouver par recurrence ? ) .
    Et on peut en deduire que Q est dense dans R !

  20. #15
    God's Breath

    Re : Q est dense dans R

    Tout d'abord est rationnel car défini comme quotient de deux entiers...

    Ensuite, on a donc et, puisque est entier : , c'est-à-dire .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  21. #16
    ichigo01

    Re : Q est dense dans R

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tout d'abord est rationnel car défini comme quotient de deux entiers...

    Ensuite, on a donc et, puisque est entier : , c'est-à-dire .
    Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii !

    Donc pour la densité on dit : il existe une suite tels que alors :
    Q est dense dans R ( qui doit etre equivalent à : = ).

  22. #17
    andtsd

    Re : Q est dense dans R

    demonstration de la densité de l'ensemble des décimaux

  23. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Q est dense dans R

    Vas-y, commence !

    on n'est pas tes chiens, un peu de politesse, et de désir de faire toi-même seraient nécessaires !!!

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