Contrôle de l'annulation par equivalents

[yoll56]

Bonjour,
Je voudrais connaitre le principe de démonstration de la propriété suivante :

cf pièce jointe

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

On se contente d'utiliser la définition de l'équivalence.

Mais pour la plupart des définitions de l'équivalence, ce n'est pas une conséquence de la définition, mais une partie de la définition, le début, et on continue par
il existe une fonction e, de limite nulle en a, telle que f(x)=g(x)e(x)
ou bien
il existe une fonction e, de limite nulle en a, telle que, pour tout x de V qui n'annule pas g, f(x)/g(x)=e(x).

Cordialement.

[Resartus]

Petit lapsus calami, gg0. e(x) tend vers 1 (ou alors on écrit 1+e(x) avec e(x) tend vers zero...)

[gg0]

Merci de la rectification, Resartus.

J'étais resté sur la définition du négligeable

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

De ce fait,

ma réponse à Yoll56 est fausse. le mélange entre négligeable et équivalent m'a fait raisonner de travers ... J'ai fait la confusions avec le cas où on utilise la définition par le quotient. Désolé !

Donc revenons à cette preuve : J'utilise la définition par f(x)=g(x)e(x) pour tout x d'un voisinage de a, et e(x) tend vers 1. sans autre condition. Puisque e(x) tend vers 1, il existe un voisinage V de a sur lequel e(x) n'est pas nul; etc.

Cordialement.