Module artinien

[invitef53905f1]

bonjour pouvez vous m'aider à repondre à cette question:
soient A un anneau, M un A module et f un endomorphisme
En general, si M est Artinien et f est un epimorphisme est il vrai que f est un automorphisme?
Merci en avance
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[invitecbade190]

Bonjour,

La catégorie des - modules est une catégorie abélienne, donc, les monomorphismes coïncident avec les morphismes injectifs, et les épimorphismes coïncident avec les morphismes surjectifs.

Tu cherches donc à démontrer que si un est endomorphisme surjectif sur un - module artinien, alors est injectif, et par conséquent, est un automorphisme.

Sauf erreur, supposons par absurde que est injectif, alors est injectif aussi pour tout . D'après ton exercice du fil précédent : telle que : ( est en effet surjectif ). Par conséquent : , ceci est en contradiction avec le fait que est stationnaire à partir de et non à partir de .

J'espère que je n'ai pas écrit des bêtises. J'espère que quelqu'un me corrigera mon pavé.

Cordialement.

[invitef53905f1]

bonjour ?je n'est pas compris seulement le fait que n qui exist est superieur ou egale à 2.
on ne peut pas avoir n=1?

Bien cordialement

[invitecbade190]

Sauf erreur, il peut y avoir , mais pas pour tout un endomorphisme surjectif sur artinien. Toi, tu demandes de montrer que pour tout un endomorphisme surjectif sur artinien, on a est injectif. On ne va pas avoir pour tout un endomorphisme surjectif sur artinien, la relation : avec tout le temps, on va avoir aussi des ou ... etc, mais tout le temps, , je ne pense pas. du moins ce que je pense.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef53905f1]

bonjour chentouf ,
est il correct de rédiger la réponse que suit:
soit M un A module Artinien et soit f un endomorphisme surjective de M telque imfⁿ est stationaire à partir de n=2
supposons que f est injective alors fⁿ est injective pour tout n supérieur ou egal à 2
or on a M=imfⁿ+ kerfⁿ pour tout n supérieur ou egal à 2
en particulier pour n=2 on a M=imf²+ kerf²=imf²
ainsi imf=imf² ce qui est absurde car imfⁿ est stationaire à partir de n=2 et non pas n=1
merci en avance

[invitecbade190]

Moi aussi, je ne sais pas rédiger ça proprement.

[invite5357f325]

En revanche c'est faux de dire qu'un épimorphisme est toujours surjectif, par exemple l'inclusionde Z dans Q. Donc ca dépends de ce qu'on appelle un épimorphisme.

chentouf il y a plusieurs erreurs dans ce que tu as fais. Pour commencer tu dis "supposons que par l'absurde f est injective" mais c'est ce qu'il faut montrer. Ensuite, je ne sais pas ce que tu fais avec im(f^n) mais comme f est surjective on a que im(f^k) = M pour tout k, c'est immédiat.

[invite47ecce17]

Bonjour
Connais tu la notion de longueur d'un module. Si oui tu dois savoir que la longueur est additive sur les suites exactes.
Utilise ca sur la suite exacte 0-> ker f-> M-> im f-> 0
Tu peux aussi utiliser le theoreme de Jordan Holder.
Enfin pour prouver que M=ker f^n+im f^n pour un certain n, mime la preuvr du fait que pour un projecteur d'un ev, tu as V=ker p+im p. En remarquant d'abord que im f^n=im f^n+1 pour un certain n.

[invitecbade190]

Oui, je n'ai pas vu ça : , parce que est surjectif. J'aimerais bien connaître moi aussi la solution.
Cordialement.

[invitecbade190]

Salut :

Ici, un contre-exemple : http://math.stackexchange.com/questi...rtinian-module

[azizovsky]

où tu'as lu ??? , moi je lis :

Enfin pour prouver que M=ker f^n+im f^n pour un certain n,