R\Q est il dense dans Q?

[sebsheep]

Bonjour,

Pour un exo j'ai été amené à voir si R\Q était dense dans Q ou pas.

J'ai pondu cette demo mais je ne suis pas sur de moi :
Soit . Soit la suite où E représente la partie entière. On clairement quand , donc R\Q serait dense dans Q.

Maintenant voici l'exo :
soit , une fonction continue tq

1) Mq f est identiquement nulle sur [0,1].

Ma réponse : vu que Q est dense dans R, pour tout élément de R, on peut trouver une suite à valeur dans Q convergente vers cet élément. Donc vu que f est continue .

2) Que peut on dire si on remplace l'hypo par "f est nulle sur les irrationnels de [0,1]"?

Ma réponse : on a montré plus haut que R\Q était dense dans Q, donc par le même argument, f est aussi identiquement nulle sur R.

Y a t il quelque chose qui cloche?
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[invited776e97c]

Pour la deuxième question , c'est plutôt le fait que R\Q est dense dans R.

[Thorin]

Chez moi, il faut avoir inclusion pour parler de densité, ce qui n'est pas le cas pour les rationnels et les irrationnels.

Pour la deuxième question, l'argument à sortir est la densité de R\Q dans R, pas dans Q.

Edit : Grillé.

[invited776e97c]

Moi aussi pas convaincu de la densité de R\Q dans Q puisque ils constituent deux ensembles disjoints.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebsheep]

Merci de vos réponses!

Ok, autant pour moi, je connaissais mal la def de la densité (l'inclusion à la trappe ....)

Cependant, pour la question 2, sans parler de densité, peut on raisonner comme je l'ai fait? (ie exhiber que pour tt rationnel on peut trouver une suite d'irrationnel convergent vers lui, et que donc par continuité, f est nulle)

Et mon raisonnement de la question 1 (ainsi que la formulation) est il juste?

[invited776e97c]

Ben à premiere vu je te dirai non puis que tu n'a pas la densité et en plus ce sont des ensembles disjoints.

[Thorin]

La suite xn qu'il a défini permet tout de même de conclure.

[invite62ffc9d0]

bonjour,

Exercice : montrer que IR\Q (irrationnels) est dense dans IR.
Déjà, on sait qu'il existe un irrationnel e.
Soient x, y € Q tels que x < y.
Comme IR est Archimédien, il existe q € IN* tel que : q(y - x) > e.
Posons z = x +q/e, il est clair que : x < z < y .
En outre, z est nécessairement irrationnel (sinon e serait rationnel)
Entre deux rationnels x et y, on peut donc intercaler un irrationnel.
Donc entre deux réels aussi d'où :
IR\Q est dense dans IR..

[Thorin]

Si e est négatif, on n'a pas x<z.
de plus, il me semble qu'il faut plutôt envisager x+e/q que x+q/e

[invite62ffc9d0]

bonjour,
Je rappelle que 2<e<3 donc e>0.
La seconde remarque n'a aucune importance.
Amicalement.

[invite4ef352d8]

R\Q (oui pour "privé de" on utilise plutot \, le / est réservé au ensemble quotient... ) contiens par exemple Q+sqrt(2) (ie l'ensemble des nombre qui s'écrive sqrt(2) + (p/q) ) qui est dense dans R par densité de Q... du coup R\Q est dense dans R...