Groupes, partie dense de |R [PCSI]

[invite621a8f3c]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour ces exos, pouvez-vous m'aiguiller, m'indiquer comment démarrer, la méthode à suivre pour résoudre ce type d'exo svp?

Exo:

1. Soit G un sous-groupe de (|R, +) non réduit à {0}. Montrer que G est soit dense dans |R, soit de la forme aZ avec a>0 (Z est l'ensemble des entiers relatifs)

G est une partie de |R. G est dense dans |R lorsque pour tout x<y, [x,y]interG différent de l'ensemble vide, c'est-à-dire pour tout x<y, il existe z appartenant à G,

A partir de là, comment faire ?

2. Soit a et b deux réels non nuls. Discuter la nature du sous groupe additif qu'ils engendrent. (Je ne sais pas comment faire là).

3. soit b n'appartenant pas à l'ensemble des rationnels Q. Montrer que |Nb +Z est dense dans |R (c'est comme la 1/ mais je bloque un peu).


Autre question:

Soit xn =

avec n entier. Comment déterminer E(xn) ? (Partie entière de xn, je veux dire).

Merci d'avance
-----

[invitebe0cd90e]

Salut,

c'est un exo classique. L'astuce est de considérer l'ensemble .

H est non vide est minoré par 0, donc il admet une borne infèrieur.

Ensuite il faut distinguer les cas :

- Si la borne inferieure est 0, vu que 0 n'appartient pas a H par definition, ca revient a dire que tu peux trouver des elements de H aussi pres de 0 que tu veux. A partir de la tu bricoles un peu pour montrer que H est dense.
- si la borne inferieure est un certain a different de 0, on peut montrer qu'elle est atteinte (i.e. que a appartient a H) en utilisant le fait que G est un sous-groupe additif, puis montrer que dans c cas G=aZ.

Bon courage

[invite621a8f3c]

Merci beaucoup JobHerzt, je vais travailler cela.

[invite1237a629]

Salut !

En tripotant un peu l'expression, on peut se dire : ce serait bien si les racines carrées se simplifiaient !
Pour ce faire... :


Donc

Et tu peux aussi remarquer que


Ainsi,

[A voir en vidéo sur Futura]