variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai un exo de proba que non seulement je n´arrive pas à résoudre (à vrai dire je ne sais pas par où commencer...) mais en plus j´ai le corrigé et j´ai l´impression qu´il prend des raccourcis qui me consternent. Voilà:

Soient X, Y et Z, trois variables aléatoires suivant la même loi exponentielle de paramètre .
Calculer:

, et

Je me doutais intuitivement que pour X = Y on trouve zéro puisqu´on est en probas continues, mais quant à le formuler... Voilà le corrigé, que je ne comprend pas:

D´après Fubini et en remarquant que la mesure de Lebesgues d´un point sur est nulle,








OK, mon problème c´est pas de calculer les intégrales, le résultat numérique ne m´intéresse pas, mais c´est d´arriver à ces intégrales. Comment s´y prendre, comment commencer?

Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance.

Christophe
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[invite986312212]

c'est que (l'indicatrice de A)

es-tu sûr pour la troisième intégrale?

[christophe_de_Berlin]

Ah non pardon, petite erreur dans la troisième intégrale, il faut lire:

[christophe_de_Berlin]

mais mon problème c´est que je n´arrive pas à modéliser le truc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

on te dit que X et Y sont indépendantes, donc la loi conjointe de X et Y est la loi produit, c'est-à-dire la loi sur R+ x R+ de densité . Ensuite c'est juste le calcul d'espérances par rapport à la loi du couple (X,Y).
pour la troisième intégrale, tu peux la développer encore en considérant la loi du triple (X,Y,Z) ou bien utiliser la fonction de répartition de Z.

une autre approche aurait été d'utiliser le conditionnement, et écrire par exemple que (où désigne l'espérance par rapport à la loi de Y. Comme X et Y sont indépendantes, la loi conditionnelle de X sachant Y est la même que la loi de X.

[christophe_de_Berlin]

Merci bien Ambrosio, j´ai imprimé ta réponse et je vais y méditer.

christophe