Variables indépendantes entre elles

[inviteda5dc487]

Bonjour,

J'ai parfois du mal à déterminer en quoi certaines variables sont indépendantes entre elles. Par exemple, j'ai lu dans un bouquin que la position x et la vitesse v sont des variables indépendantes entre elles pourtant elles sont reliées par la loi:

Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait?
Du coup vous vous doutez bien que j'ai un peu de mal à comprendre la mécanique analytique qui explique par exemple que les moments p et q (q et q' aussi) sont indépendants et d'autres trucs comme ça...

J'ai cherché bien évidemment sur google avant et ça m'a embrouillé encore plus car j'ai vu des sites qui expliquent que les variables indépendantes sont celles que l'on peut faire varier dans notre experience et les variables dépendantes celles qui vont s'exprimer à partir des indépendantes à travers une loi.
Je pense pas que ça est à voir avec mon problème de x et v puisque moi mon problème c'est que j'ai lu quelles étaient indépendantes "entre elles". En plus dans la def que j'ai trouvé sur le site, x et v sont des variables dépendantes puisqu'elles dépendantes des paramètres que l'on rentre dans l'eq de Newton et donc du temps et de la force...
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[inviteda5dc487]

oh la vache, j'ai speedé et j'ai pas vérifié ce que j'ai écris parce que j'ai fait un edit et j'ai fait des belles fautes d'expression et de français sur la fin excusez-moi!

[SunnySky]

Intuitivement, on peut comprendre l'indépendance ainsi: est-ce que connaître la valeur d'une de tes variables te donne une idée sur la valeur de l'autre variable?

Si oui: dépendantes. Si non: indépendantes.

Exemple: As-tu une idée de ma vitesse si je te dis que je suis à Paris? Non. Donc variables indépendantes.

As-tu une idée du courant si je te dis que la tension est de 0,0000001 V? Le courant est probablement faible. Je n'en ai pas la certitude (un supraconducteur pourrait me jouer un tour), mais la tension est un indice important. Donc variables dépendantes.

Lorsqu'on a deux variables dépendantes, on cherche souvent une relation de causalité: c'est parce que X a augmenté que Y augmente. X est la cause, Y est l'effet.

De là l'autre façon de voir la dépendance: si je contrôle X et si je le fais varier de façon contrôlée, je pourrai mieux comprendre la relation de cause à effet. La variable X est considérée comme indépendante (il n'y a que l'expérimentateur qui la choisit) alors que Y est dépendante, elle dépend de la valeur donnée à X par l'expérimentateur.

[inviteda5dc487]

Mouis. Effectivement, tu me donnes bien une idée sur la définition dans ce cas. On peut dire que x et v sont indépendantes car elles sont reliées par une équation différentielle du premier ordre ce qui laisse de la liberté à cause de la constante.
Maintenant le problème est que si tu connais cette constante, tu vas systématiquement pouvoir déterminer x à partir de la connaissance de v donc elles deviennent dépendantes!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

En général, en mécanique analytique, on appelle variables indépendantes des grandeurs géométriques (distances, angles) dont les valeurs permettent de décrire la géométrie du sytème (articulé par exemple).
On écrit alors le lagrangien comme la différence T - V (énergie cinétique - énergie potentielle) et on en déduit les équations différentielles du mouvement. La quantité de mouvement p est alors la variable conjuguée de la position (dérivée du lagrangien par rapport à la position) et de même le moment cinétique pour un angle.
On évite de dire que les variables x et p sont indépendantes.

[inviteda5dc487]

Oui mais pourtant en mécanique Lagrangienne, on définit q et q' comme des variables indépendantes or l'une est simplement la dérivée de l'autre ça va être le même problème pour p et q. Pour l'instant la seule explication que j'ai est qu'on peut faire q indépendemment de q' grâce à la constante qui apparait lorsqu'on intègre q'. Mais je sais pas si c'est vraiment ça...

[SunnySky]

Mouis. Effectivement, tu me donnes bien une idée sur la définition dans ce cas. On peut dire que x et v sont indépendantes car elles sont reliées par une équation différentielle du premier ordre ce qui laisse de la liberté à cause de la constante.

Ce n'est pas vraiment ce que je voulais dire. x et v sont indépendantes parce qu'il n'y a aucune relation de cause à effet. Connaître la valeur de l'un ne te renseigne absolument pas sur la valeur de l'autre. Évidemment, si tu connais l'équation de la position, tu connais à la fois x et v. Pour toutes les valeurs de t.

Mais ton équation n'est valide que dans une situation particulière. Tu ne peux pas affirmer que c'est parce que x=3 que v=7 (valeurs prises au hasard). Tu ne peux dire qu'une chose: au moment où x=3, v=7. Ce n'est qu'une constatation de simultanéité. Aucune relation de cause à effet. Et si x augmente, v peut augmenter ou diminuer, selon la situation.

[inviteb836950d]

Bonjour.
Peut-on rattacher ce problème au nombre de degrés de liberté d'un système ?

[inviteca4b3353]

Salut

J'ai parfois du mal à déterminer en quoi certaines variables sont indépendantes entre elles. Par exemple, j'ai lu dans un bouquin que la position x et la vitesse v sont des variables indépendantes entre elles pourtant elles sont reliées par la loi:

Dans la relation que tu cites tu introduis une nouvelle variable : le temps ! Bref tu as donc 3 variables et une relation qui les relit donc il te reste deux variables indépendantes.
Après tu as le choix, soit tu travailles avec le couple (x,t) et la vitesse devient une fonction de ces deux degrés de liberté (et n'est plus une variable), Soit tu travailles avec (x,v) et t n'est alors plus qu'une quantité qui paramètrise l'évolution temporelle des variables indépendantes (x,v).

Pour les plus avancés, il y a là un rapprochement à faire avec les deux formulations de la mécanique analytique : de Lagrange et de Hamilton

[inviteda5dc487]

Ok merci à tous. C'est déjà bcp plus clair! N'hésitez pas à rajoutez tout de même des commentaires. Plus on coupe et recoupe les infos et mieux on comprend.