fonctions linéairement indépendantes

[invite5b777dc4]

Bonjour,

Soit V = { f : R->R }

je dois dire si les fonctions f1(x) = sin(x) , f2(x) = cos(x) , f3(x) = - sin²(x)

et f4(x) = cos²(x) pour tout x sont linéairement dépendantes ou

indépendantes .


Mon intuition me dit qu'elles ne forment pas une partie libre, pour le montrer

je trouve une combinaison linéaire de ces fonctions avec des Lamda non tous

nuls, qui donne zéro :


L1 sin(x) + L2 cos(x) - L3 sin²(x) + L4 cos²(x) = 0

j'utilise la formule 1 = cos²(x) + sin²(x) , et donc si L3 et L4 sont fixés à 1,

J'obtient

L1 sin(x) + L2 cos(x) -1 = 0 si x = PI/2 et pour L3=L4=1

et L1,L2 dans R. Donc L1 f1 + L2 f2 + L3 f3 + L4 f4 = 0

n'implique pas que L1 = L2 = L3 = L4 = 0 , ces fonctions sont linéairement

dépendentes. Est-ce que cela vous parait correct ?



Merci beaucoup
-----

[invite88ef51f0]

Salut,

si L3 et L4 sont fixés à 1,

De quel droit les fixes-tu à 1 ?

[invite5b777dc4]

Ok je ne peut donc pas émettre d'hypothèses sur les Lambda...

Jvais chercher un peu.

Merci

[invitec053041c]

Salut,De quel droit les fixes-tu à 1 ?

Il a le droit, s'il cherche des Lk explicitement non nuls tq la fonction soit identiquement nulle, alors cela prouvera ce qu'il cherche.

Son début de raisonnement est bon (mis à part que L4=-1), ce qui ne va pas c'est qu'il évalue en quelques points pour trouver que sa fonction est partout nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5b777dc4]

Ok je ne peut donc pas émettre d'hypothèses sur les Lambda...

Jvais chercher un peu.

Je pensais qu'en montrant qu'une seule de ces cominaisons linéaires en l'ocurrence avec L3 et L4 = 1 était nulle sans que les Lambdas le soient suffisait pour que ça ne soit pas linéairement indépendant...

Merci

[invite5b777dc4]

Il a le droit, s'il cherche des Lk explicitement non nuls tq la fonction soit identiquement nulle, alors cela prouvera ce qu'il cherche.

Son début de raisonnement est bon (mis à part que L4=-1), ce qui ne va pas c'est qu'il évalue en quelques points pour trouver que sa fonction est partout nulle.

ok je vois ma conclusion était décidemment trop hative...

[invitec053041c]

Moi je trouve que la famille (f1,f2,f3,f4) est au contraire libre .
Si:


Alors en évaluant tour à tour en 0 et pi/2 (on a le droit ici puisque j'énonce que cela fonctionne pour tout x), on trouve a2=a4 et a1=a3.



Maintenant dérive le tout par rapport à x, évalue ensuite aux mêmes points, et tu devrais trouver de jolies bulles pour a1 et a2 .


François

[invitec053041c]

Je pensais qu'en montrant qu'une seule de ces cominaisons linéaires en l'ocurrence avec L3 et L4 = 1 était nulle sans que les Lambdas le soient suffisait pour que ça ne soit pas linéairement indépendant...

C'est juste, mais il faut que cela marche pour tout x. Des fonctions sont indépendantes, mais des valeurs indépendantes, cela n'a pas trop de sens .

Par exemple, si je te demande si (cos(2x),sin²(x),cos²(x)) est libre, tu vas me dire non car:

Pour tout x réel, cos(2x)-cos²(x)+sin²(x)=0 et (1,-1,1) est une famille de lambda fixés qui exhibe leur liaison.

François

[invite5b777dc4]

C'est juste, mais il faut que cela marche pour tout x. Des fonctions sont indépendantes, mais des valeurs indépendantes, cela n'a pas trop de sens .

Par exemple, si je te demande si (cos(2x),sin²(x),cos²(x)) est libre, tu vas me dire non car:

Pour tout x réel, cos(2x)-cos²(x)+sin²(x)=0 et (1,-1,1) est une famille de lambda fixés qui exhibe leur liaison.

François

Ok merci beaucoup, j'allais devoir remettre en question mon hypothèse de dépendance tôt ou tard ...

Je peux donc tirer des conclusions générales sur ma combinaison linéaire en l'évaluant en quelques points ( par exemple pour déduire a1 = a2 ) .

Je peux fixer des valeurs pour les Lambdas mais dans ce cas l'égalité ainsi obtenue doit être véeifiée pour tout x, ce qui peut être plus dur à démontrer...

Est-ce bien cela ?

[invitec053041c]

Je peux fixer des valeurs pour les Lambdas mais dans ce cas l'égalité ainsi obtenue doit être véeifiée pour tout x, ce qui peut être plus dur à démontrer...

Est-ce bien cela ?

Oui c'est exactement ça !

[invite5b777dc4]

ok merci beaucoup je vais chipoter encore un peu avec ce style d'exos puis jpasse à une autre matière, j'ai exam d'algèbre linéaire mercredi...

Encore merci, et à bientôt

[Médiat]

Maintenant dérive le tout par rapport à x

Sans justification ?

[invite5b777dc4]

Sans justification ?

c bien la le hic , maintenant que j'ai compris la méthode j'ai fait un autre exo

avec les fonctions f1=exp(x), f2=exp(x+1), f3=exp(x) + 1, f4=exp(-x)

et je suis confronté à la même situation, je dérive mes combianaisons linéaires

pour conclure que mes Lambdas sont nuls,

je sais que l'opérateur de dérivation est un opérateur linéaire mais je sais pas

si c'est ça la bonne justification ....

[invitec053041c]

c bien la le hic , maintenant que j'ai compris la méthode j'ai fait un autre exo

avec les fonctions f1=exp(x), f2=exp(x+1), f3=exp(x) + 1, f4=exp(-x)

et je suis confronté à la même situation, je dérive mes combianaisons linéaires

pour conclure que mes Lambdas sont nuls,

je sais que l'opérateur de dérivation est un opérateur linéaire mais je sais pas

si c'est ça la bonne justification ....

Tu n'es pas obligé de passer par des opérateurs linéaires. Suffit de montrer d'une manière ou d'une autre qu'un des coeff est nul, par exemple on peut diviser par telle fonction, faire tendre à l'infini etc...du moment qu'on trouve qu'un coef est nul !
D'ailleurs, ici il est clair que tes fonctions sont liées, car f2=e.f1


François

[invitec053041c]

Sans justification ?

Et pourquoi devrait-on justifier ?
Ma fonction de droite est la fonction nulle, égale à ma fonction de gauche. Leurs dérivées sont égales.

[Médiat]

Et pourquoi devrait-on justifier ?

Parce que c'est ça les maths.

Ma fonction de droite est la fonction nulle, égale à ma fonction de gauche. Leurs dérivées sont égales.

Tu utiliserais le même argument pour montrer que les fonctions f(x) = x et g(x) = |x| sont linéairement indépendantes ?

[invitec053041c]

Tu utiliserais le même argument pour montrer que les fonctions f(x) = x et g(x) = |x| sont linéairement indépendantes ?

Ce n'est pas le cas, je ne vois pas pourquoi se compliquer la vie.
La fonction de gauche est clairement dérivable sur IR, celle de droite aussi.

[Médiat]

Ce n'est pas le cas, je ne vois pas pourquoi se compliquer la vie.

Qui a parlé de se compliquer la vie ? D'ailleurs j'aurais choisi plutôt que de me compliquer la vie à dériver

La fonction de gauche est clairement dérivable sur IR, celle de droite aussi.

C'est ce qu'on appelle une justification !

[invitec053041c]

Qui a parlé de se compliquer la vie ? D'ailleurs j'aurais choisi plutôt que de me compliquer la vie à dériver

Pas bête .

C'est ce qu'on appelle une justification !

Oui mais ça passait sous le sens puisque ça faisait 2 fois que je répétais "pour tout x" et que ces fonctions ne posent pas de problème quand il s'agit de la dérivation.
Dans ma copie je l'aurais écrit bien-sûr, mais là je voulais surtout porter l'accent sur un cheminement plutôt que sur un travail cuit et mâché.

Amicalement,

François.

[invite5b777dc4]

Tu n'es pas obligé de passer par des opérateurs linéaires. Suffit de montrer d'une manière ou d'une autre qu'un des coeff est nul, par exemple on peut diviser par telle fonction, faire tendre à l'infini etc...du moment qu'on trouve qu'un coef est nul !
D'ailleurs, ici il est clair que tes fonctions sont liées, car f2=e.f1


François

ok c'est enregistré ; le passage à la limite ne necessite pas de justification ?

Pas bête .



Oui mais ça passait sous le sens puisque ça faisait 2 fois que je répétais "pour tout x" et que ces fonctions ne posent pas de problème quand il s'agit de la dérivation.
Dans ma copie je l'aurais écrit bien-sûr, mais là je voulais surtout porter l'accent sur un cheminement plutôt que sur un travail cuit et mâché.

Amicalement,

François.

Merci beaucoup en tout cas pour ce précis détail car étant donné que je viens de comprendre grâce à ce fil comment manipuler les combinaisons linéaires dans les espaces de fonctions j'aurai probablement pas pensé à justifier correctement ce passage et le professeur est assez exigeant...

[invitec053041c]

ok c'est enregistré ; le passage à la limite ne necessite pas de justification ?

Médiat ,es-tu là ? ...
Bon, oui on justifie quand même .

[Médiat]

ok c'est enregistré ; le passage à la limite ne necessite pas de justification ?

Médiat ,es-tu là ? ...
Bon, oui on justifie quand même .

On va dire que je n'ai rien lu, car sinon je risque de frapper mes enfants pour passer mes nerfs !

Et méfie-toi de la dérivation pour démontrer la dépendance ou l'indépendance linéaire de fonctions, d'autant que j'ai beau réfléchir je n'arrive pas à imaginer un cas ou le choix judicieux de valeurs de x ne permet pas de démontrer que les fonctions sont indépendantes, par contre je vois bien des cas ou le passage à la dérivée ne permet pas de démontrer qu'elles sont indépendantes.

[invitec053041c]

On va dire que je n'ai rien lu, car sinon je risque de frapper mes enfants pour passer mes nerfs !

Et méfie-toi de la dérivation pour démontrer la dépendance ou l'indépendance linéaire de fonctions, d'autant que j'ai beau réfléchir je n'arrive pas à imaginer un cas ou le choix judicieux de valeurs de x ne permet pas de démontrer que les fonctions sont indépendantes, par contre je vois bien des cas ou le passage à la dérivée ne permet pas de démontrer qu'elles sont indépendantes.

Par exemple, montrer que (1,sin(x),sin²(x),sin^3(x)) est libre non ?
si pour tout réel x, a0+a1sin(x)+a2sin²(x)+a3 sin^3(x)=0

En évaluant en 0, on a a0=0
Après on peut penser factoriser par sin(x), mais pas top pour révaluer en 0 ce qu'il y aura en facteur (on ne simplifie pas par sin(x) je veux dire).
Donc je ne vois qu'une méthode: la dérivée.

Mais je me trompe très certainement !

[inviteb11a0797]

Salut,

Ya ptet plus élégant pour montrer la liberté de ces fonctions sinus avec des puissances échelonnées.
Arrêtez moi si je me trombe mais en invoquant Tschebyschef (j'ai jamais su l'écrire ) on peut se ramener à montrer la liberté des fonctions sinus(k*x).
Et après on a tout de suite leur liberté étant donné que les fonctions sin(kx) sont des vecteurs propres associés à l'application dérivée seconde, qui est linéaire, et de valeur propre k et par conséquent elles sont linéairements indépendantes.

Pour ceux qui n'aiment ni les fonctions trigo ni les calculs je pense que c'est une méthode pas trop mal, pour peu que l'on ait quelques notions sur les espaces propres.
Dîtes moi si je raconte n'importe quoi!
merci

[FonKy-]

Par exemple, montrer que (1,sin(x),sin²(x),sin^3(x)) est libre non ?
si pour tout réel x, a0+a1sin(x)+a2sin²(x)+a3 sin^3(x)=0

En évaluant en 0, on a a0=0
Après on peut penser factoriser par sin(x), mais pas top pour révaluer en 0 ce qu'il y aura en facteur (on ne simplifie pas par sin(x) je veux dire).
Donc je ne vois qu'une méthode: la dérivée.

Mais je me trompe très certainement !

Si on pose X=sinx
on se retrouve avec l'equation d'un polynome, or la famille d'un tel polynome est libre

Cela suffit-il comme justification ? avis aux experts

[Médiat]

Si on pose X=sinx
on se retrouve avec l'equation d'un polynome, or la famille d'un tel polynome est libre

Soit la famille de fonctions (f0, f1, f2) définis par
f0(x) = 1 ; f1(x) = 2 ; f2(x) = 4
af0(x)+bf1(x)+c(f2(x) = 0 est équivalent à
a + bf1(x) +cf1(x)² = 0
en posant X = f1(x)
a+bX+cX² = 0
Tu crois que ta conclusion est valide ?

[Médiat]

si pour tout réel x, a0+a1sin(x)+a2sin²(x)+a3 sin^3(x)=0

En évaluant en 0, on a a0=0

et en évaluant pour et on ne doit pas être loin du bonheur, non ? (et avec un petit coup de c'est plié)

[invitec053041c]

et en évaluant pour et on ne doit pas être loin du bonheur, non ? (et avec un petit coup de c'est plié)

Certes .
Mais vous êtes d'accord que des fois, on peut s'emmêler au milieu de valeurs compliquées, alors que des limites ou des dérivées faciliteraient la tâche .

Genre pour (exp(x),exp(2x),exp(3x)).
A part trouver a1+a2+a3=0, je ne vois pas plus simple que la méthode des limites.


François

[FonKy-]

Soit la famille de fonctions (f0, f1, f2) définis par
f0(x) = 1 ; f1(x) = 2 ; f2(x) = 4
af0(x)+bf1(x)+c(f2(x) = 0 est équivalent à
a + bf1(x) +cf1(x)² = 0
en posant X = f1(x)
a+bX+cX² = 0
Tu crois que ta conclusion est valide ?

hmm ok, merci, mais qu'est-ce qui manquerait a ma proposition pour en assurer la véracité ? (sur le changement de variable par exemple )

Merci

[Médiat]

Genre pour (exp(x),exp(2x),exp(3x)).
A part trouver a1+a2+a3=0, je ne vois pas plus simple que la méthode des limites.

Comme je l'ai indiqué dans ma première intervention, ce qui compte c'est de pouvoir justifier.
Je prends ton exemple :

1) aexp(x) + bexp(2x) + cexp(3x) = 0
2) exp(x)(a + bexp(x) +cexp(2x)) = 0
3) comme exp(x) != 0 : a + bexp(x) +cexp(2x) = 0
4) quand x tend vers -infini : a = 0 (et on recommence)

C'est comme cela que tu ferais ?

Si oui, ce qui me gêne c'est qu'à la ligne 3) on dit que exp(x) jamais nul, et à la ligne 4) on rend nul exp(x) et exp(2x) (donc on rend nul ce qui ne s'annule jamais)