fonctions linéairement indépendantes

[invitec053041c]

Comme je l'ai indiqué dans ma première intervention, ce qui compte c'est de pouvoir justifier.
Je prends ton exemple :

1) aexp(x) + bexp(2x) + cexp(3x) = 0
2) exp(x)(a + bexp(x) +cexp(2x)) = 0
3) comme exp(x) != 0 : a + bexp(x) +cexp(2x) = 0
4) quand x tend vers -infini : a = 0 (et on recommence)

C'est comme cela que tu ferais ?

Si oui, ce qui me gêne c'est qu'à la ligne 3) on dit que exp(x) jamais nul, et à la ligne 4) on rend nul exp(x) et exp(2x) (donc on rend nul ce qui ne s'annule jamais)

Oui quelque chose qui y ressemble.




On peut simplifier par exp(2x) non nul, donc notre fonction vaut le terme de droite. Et seulement ensuite on fait tendre x vers +infini pour trouver c=0 (c'est très similaire à ce que vous avez fait).

Je ne vois pas comment faire autrement que de poser un système sinon...


EDIT: rendre nul ce qui ne s'annulle jamais, n'est-ce pas ce qu'on fait souvent pour décomposer une fraction en éléments simple ?
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[Médiat]

On peut simplifier par exp(2x) non nul, donc notre fonction vaut le terme de droite. Et seulement ensuite on fait tendre x vers +infini pour trouver c=0

Soit l'équation (de racine évidente x = 1)
(1 - x)² = 1 - x²
je suppose x!=1 donc je simplifie par (1 - x) :
1 - x = 1 + x
en faisant tendre x vers 1 (tout en restant différent de 1 sinon la simplification n'est pas valide), j'obtiens :
0 = 2.

Je répète que ce qui me gêne dans tout cela c'est l'absence de justification... Et personnellement je préfèrerais résoudre un système de 3 équations à 3 inconnus facile à résoudre (en choisissant bien les valeurs de x) plutôt que de donner une justification complète de ce tour de passe-passe (je simplifie parce que c'est pas nul et après je rend nul)

[invitec053041c]

Soit l'équation (de racine évidente x = 1)
(1 - x)² = 1 - x²
je suppose x!=1 donc je simplifie par (1 - x) :
1 - x = 1 + x
en faisant tendre x vers 1 (tout en restant différent de 1 sinon la simplification n'est pas valide), j'obtiens :
0 = 2.

Oui mais ici c'est une équation où l'on cherche une inconnue x, on n'a aucun droit de dériver,d'intégrer(...) une équation dont on cherche une inconnue. Ce ne sont pas 2 fonctions égales pour tout x, contrairement à ce qui est écrit au dessus.

[FonKy-]

Soit l'équation (de racine évidente x = 1)
(1 - x)² = 1 - x²
je suppose x!=1 donc je simplifie par (1 - x) :
1 - x = 1 + x
en faisant tendre x vers 1 (tout en restant différent de 1 sinon la simplification n'est pas valide), j'obtiens :
0 = 2.

Je répète que ce qui me gêne dans tout cela c'est l'absence de justification... Et personnellement je préfèrerais résoudre un système de 3 équations à 3 inconnus facile à résoudre (en choisissant bien les valeurs de x) plutôt que de donner une justification complète de ce tour de passe-passe (je simplifie parce que c'est pas nul et après je rend nul)

mais j'le crois pas ^^
vous avez un bouquin de contre-exemple non ? c'est pas possible autrement

Pour en revenir à ce que je disai car j'aimerai vraiment comprendre,
sur l'equation avec les exponentielles, apparement la famille constituée de ses expo est libre. Donc en posant X=e^x (oui je sais ^^ ) et en retombant sur un polynome pourquoi ici on a bien une famille libre et pas avant, c'est a cause de la bijectivité ? ca me semble intéressant de comprendre.
Et si aucun rapport il y a et que c'est juste un hasard autant me le dire.

Merci, FonKy-

[Médiat]

Oui mais ici c'est une équation où l'on cherche une inconnue x, on n'a aucun droit de dériver,d'intégrer(...) une équation dont on cherche une inconnue. Ce ne sont pas 2 fonctions égales pour tout x, contrairement à ce qui est écrit au dessus.

Ce qui est étonnant c'est que chacune de tes interventions montrent qu'il faut justifier (puisqu'en changeant certaines conditions on peut ou on ne peut pas faire telle action), mais tu sembles t'y refuser, moi ça ne me dérange pas plus que ça.

[Médiat]

vous avez un bouquin de contre-exemple non ? c'est pas possible autrement

C'est surtout que je suis un ardent défenseur de l'adage : "Les cas limites testent la règle"... .

Désolé de ne pas te repondre plus précisément sur le changement de variable, mais je n'ai pas la réponse toute prête (je ne crois pas que la bijectivité soit nécessaire).

[FonKy-]

C'est surtout que je suis un ardent défenseur de l'adage : "Les cas limites testent la règle"... .

J'aime bien aussi, mais sinon je suis juste admiratif que vous trouviez toujours le cas qui va démonter une démo

Désolé de ne pas te repondre plus précisément sur le changement de variable, mais je n'ai pas la réponse toute prête (je ne crois pas que la bijectivité soit nécessaire).

Il n'ya pas de mal, vous me confirmerez que vous n'etes pas dieu et que vous ne savez pas tout, donc je ne peux pas vous en vouloir si vous séchez un peu car je trouve la question pas évidente du tout. Et ca ne changera en rien mon point de vue sur votre niveau si c'est ca qui vous fait peur

[inviteaf1870ed]

Pour l'indépendance linéaire des exponentielles, j'aime bien l'idée de passer par un polynôme. En effet en posant X=e^x, la combinaison linéaire d'exponentielle devient un polynôme. Si on dit que cette combinaison est nulle pour tout x, le polynôme est donc nul pour tout X>0. Il a donc plus de racines que ne l'autorise son degré, il est donc identiquement nul.

[invitec053041c]

Pour l'indépendance linéaire des exponentielles, j'aime bien l'idée de passer par un polynôme. En effet en posant X=e^x, la combinaison linéaire d'exponentielle devient un polynôme. Si on dit que cette combinaison est nulle pour tout x, le polynôme est donc nul pour tout X>0. Il a donc plus de racines que ne l'autorise son degré, il est donc identiquement nul.

Pense au contre exemple de Médiat:
f1(x)=2
f2(x)=4
f3(x)=8

Ces fonctions sont liées, pourtant en posant X=2,X²=4,X^3=8 on trouverait qu'elles seraient libre par ta méthode.


François

[inviteaf1870ed]

Non car je n'utilise cette méthode que pour des fonctions exponentielles de la forme e^nx. D'ailleurs dans le cas que tu cites la fonction polynôme en X, X², X³ n'est pas nulle pour une infinité de valeurs de X...

[FonKy-]

Non car je n'utilise cette méthode que pour des fonctions exponentielles de la forme e^nx. D'ailleurs dans le cas que tu cites la fonction polynôme en X, X², X³ n'est pas nulle pour une infinité de valeurs de X...

bah justement si, ce sont des constantes , non ?

[inviteaf1870ed]

Oui donc X n'a qu'une valeur : 2 !

[invitec053041c]

Mais quelle différence fais-tu entre la démo en changement de var. en (1,x,x²) pour une fonction constante et pour une fonction qui ne l'est pas ?

[inviteaf1870ed]

Dans le cas de l'exponentielle, la variable X prend une infinité de valeurs ce qui n'est pas le cas des fonctions constantes qui ne prennent qu'une valeur.

[invitec053041c]

Dans le cas de l'exponentielle, la variable X prend une infinité de valeurs ce qui n'est pas le cas des fonctions constantes qui ne prennent qu'une valeur.

D'accoooord, j'ai saisi .