Notion d'hyperplan en dimension infinie

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis tombé par harsard sur un exercice qui m'a quelque peu dérouté : il s'agissait de démontrer que deux hyperplans distincts d'un espace vectoriel E admettait un supplémentaire commun, dans le cas où E est de dimension finie et dans le cas où E est de dimension infinie.

J'ai réussi à démontrer la propriété dans le premier cas, mais je ne vois pas comment peut s'étendre la notion d'hyperplan pour des espaces vectoriels de dimension infinie, et je n'ai rien trouvé sur internet.

Quelqu'un pourrait-il me définir un hyperplan d'un espace vectoriel de dimension infinie ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite00970985]

Il faut utiliser la notion de co dimension :
En dimension finie, la codimension d'un sev F dans E est de façon naturelle : codim F = dim E - dimF

De manière générale, on dit que F est de codimension finie si il admet un supplémentaire G de dimension finie et on a alors codim F= dim G.

Ce qui te donne la définition générale (qui fonctionne aussi bien en dim finie qu'infinie) d'un hyper plan : c'est un espace de codimension finie égale à 1.

[Seirios]

D'accord, donc je devrais pouvoir généraliser ma démonstration à la dimension infinie sans trop de difficultés si les propriétés suivantes sont vérifiées (ce qui me semble être le cas, mais on ne sait jamais) : Si et , alors ; puis si E et F (sev de G) sont en somme directe, avec et , alors . Ces propriétés sont vraies, non ?

[invite4ef352d8]

La deuxième propriété que tu donne veut pas dire grand chose.. c'est quoi n ?
si tu as deux espace E et F de codimension fini dont l'intersection est réduite à {0} ba E,F et G sont alors neccessairement de codimension fini.


de facon génral :

un hyperplan c'est le noyaux d'une forme linéaire non nul ou de facon équivalente le suplaimentaire d'une droite, ou encore même un sous ev stricte maximal.
et l'exercice est vraiment simple, la solution tiens en quelque ligne et n'as pas du tous bessoin de la notion de codimension.

[A voir en vidéo sur Futura]