Précompacité en dimension infinie

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour !

Une petite question précise, qui me pose problème...

A-t-on, en dimension infinie, que toute boule fermée est précompacte ?

Je vous remercie...


Romain
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[invite769a1844]

Bonjour !

Une petite question précise, qui me pose problème...

A-t-on, en dimension infinie, que toute boule fermée est précompacte ?

Je vous remercie...


Romain

bonjour,

si l'espace est un banach déjà c'est pas bon, à ce moment là, la boule serait compacte ce qui contredit le théorème de Riesz.

après il faudrait voir pour les non banach.

[inviteaeeb6d8b]

Merci

Oui, avec Alex, on s'est rendus compte que c'était faux ce matin...

[invite10a6d253]

Ca peut être vraie pour certaines topologies (dites faibles) mais tu verras ça sans doute plus tard.
Se rappeler aussi que dans les espaces vectoriels normés, toute boule fermée est fermée, donc compact= précompact si l'espace est supposé complet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Ca peut être vraie pour certaines topologies (dites faibles) mais tu verras ça sans doute plus tard.
Se rappeler aussi que dans les espaces vectoriels normés, toute boule fermée est fermée, donc compact= précompact si l'espace est supposé complet.

Bonsoir, comment définit-on la topologie faible?

[invite35452583]

Bonsoir, comment définit-on la topologie faible?

C'est la topologie définie par le dual. tend vers x si pour toute forme f linéaire continue f(x_n-x) tend vers 0.
Plus d'info sur là (avec un lien donnant encore plus d'infos).

[invite769a1844]

C'est la topologie définie par le dual. tend vers x si pour toute forme f linéaire continue f(x_n-x) tend vers 0.
Plus d'info sur là (avec un lien donnant encore plus d'infos).

ok, enfin j'avais déjà regardé l'article de wiki, mais j'ai encore du mal à identifier une topologie à partir d'une notion de convergence (je sais pas d'ailleurs si c'est toujours possible), mais quels sont les ouverts ou les ouverts "élémentaires" de cette topologie? Est-ce que c'est une topologie métrisable?

[invite57a1e779]

quels sont les ouverts ou les ouverts "élémentaires" de cette topologie?

Les ensembles , où est une partie finie dual et un réel strictement positif, définis par :

constituent un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie faible.

Il revient au même de dire qu'elle est définie par la famille de semi-normes définies par .

[invite57a1e779]

Est-ce que c'est une topologie métrisable?

En dimension finie, la topologie faible est égale à la topologie forte, donc...

En dimension infinie, la topologie faible est distincte de la topologie forte, et non métrisable.

[invite57a1e779]

j'ai encore du mal à identifier une topologie à partir d'une notion de convergence (je sais pas d'ailleurs si c'est toujours possible)

Définir une topologie par une notion de convergence, c'est définir l'adhérence d'une partie comme ensemble des limites des suites convergentes à termes dans , c'est donc définir une topologie par ses fermés.

[invite769a1844]

Les ensembles , où est une partie finie dual et un réel strictement positif, définis par :

constituent un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie faible.

Il revient au même de dire qu'elle est définie par la famille de semi-normes définies par .

d'accord, je vois un peu mieux, je vais essayer de voir si cet espace est séparé et retrouver la convergence faible qu'on m'a donné.
Mais a priori c'est pas forcément un espace normé, seulement un evt?

[invite769a1844]

Définir une topologie par une notion de convergence, c'est définir l'adhérence d'une partie comme ensemble des limites des suites convergentes à termes dans , c'est donc définir une topologie par ses fermés.

d'accord, donc on pourrait toujours définir une topologie par rapport à une convergence "séquentielle", mais je ne savais pas si c'était possible pour des notions de convergence comme la convergence -presque partout, convergence en probas, ou convergence en loi? J'avoue que pendant le cours de théorie de mesure, je me suis souvent posé la question s'il il y avait un lien avec ce que j'avais vu en topologie à propos de notions de convergence.

[invite769a1844]

En dimension finie, la topologie faible est égale à la topologie forte, donc...

En dimension infinie, la topologie faible est distincte de la topologie forte, et non métrisable.

ok, j'avais pas vu ce post, donc oui sous ces conditions elle l'est évidemment en dimension finie, oui c'est vrai que ça coïncide,
je vais regarder pour le cas de la dimension infinie, ça me paraît moins évident.

En tout cas merci pour vos réponses.

[invite57a1e779]

d'accord, donc on pourrait toujours définir une topologie par rapport à une convergence "séquentielle".

Non !

Il existe des topologies pour lesquelles un point adhérent une partie A n'est pas limite d'une suite à termes dans A. Une telle topologie ne peut donc pas être définie par la seule convergence séquentielle.

Mais la définition d'une convergence séquentielle permet toujours de définir une topologie.

[invite769a1844]

Non !

Il existe des topologies pour lesquelles un point adhérent une partie A n'est pas limite d'une suite à termes dans A. Une telle topologie ne peut donc pas être définie par la seule convergence séquentielle.

Mais la définition d'une convergence séquentielle permet toujours de définir une topologie.

ah oui c'est vrai, mais je ne crois pas encore avoir vu de tels espaces,
donc la topologie qu'on définit avec une notion de convergence séquentielle est un espace où forcément tout point admet une base locale de voisinages dénombrable.

[invite57a1e779]

donc la topologie qu'on définit avec une notion de convergence séquentielle est un espace où forcément tout point admet une base locale de voisinages dénombrable.

Il n'y a pas équivalence :
Si tout point admet une base de voisinage dénombrable, alors la convergence des suites permet de définir la topologie.

Mais on peut définir a priori la topologie par la convergence des suites, sans obtenir un espace ou tout point admet une base de voisinage dénombrable.

La base de voisinage de 0 pour la topologie faible, constituée des , peut être restreinte aux rationnels, mais, on ne peut pas restreindre les à une famille dénombrable de parties de .

[invite769a1844]

Il n'y a pas équivalence :
Si tout point admet une base de voisinage dénombrable, alors la convergence des suites permet de définir la topologie.

Mais on peut définir a priori la topologie par la convergence des suites, sans obtenir un espace ou tout point admet une base de voisinage dénombrable.

La base de voisinage de 0 pour la topologie faible, constituée des , peut être restreinte aux rationnels, mais, on ne peut pas restreindre les à une famille dénombrable de parties de .

ah ok, bon je vois déjà un peu mieux, merci pour ces apports d'information, ce sera bien plus clair une fois que j'aurai vu plus en profondeur cette topologie faible.