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Somme infinie




  1. #1
    Quinto

    Somme infinie

    Salut,
    je cherche à calculer la somme des 1/(n²+1) sur N mais je sèche un peu...

    Bien que la somme des 1/n² soit connue, je pense qu'il n'y a pas de lien entre les 2.

    Si jamais quelqu'un a une piste, je serais preneur. Je pense qu'il faudrait partir du coté des résidus, mais sans vraiment savoir dans quel sens.
    (trouver une fonction telle que ses singularités soient toutes en n?)
    Dans tous les cas merci, et bonne soirée.

    Quinto

    -----


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  3. #2
    Rincevent

    Re : Somme infinie

    Citation Envoyé par Quinto
    (trouver une fonction telle que ses singularités soient toutes en n?)
    naïvement, sans réfléchir, et en pleine nuit plus très réveillé, je dirais comme ça : la fonction gamma d'Euler elle est pas très loin de ça, non ?

    bon, je dis pas que ça va t'aider, mais c'est à ça que me fait penser ta question/remarque...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    cricri

    Re : Somme infinie

    les 10 millions premier terme donne environ 1,07667394746765
    mais peut etre que ca tend vers l infini


  5. #4
    Quinto

    Re : Somme infinie

    Non il n'y a vraiment aucun de probleme de convergence.

    Rincevent:
    Qu'est ce qui te fait penser à la fonction gamma la dedans?

    Je pense qu'on peut s'en tirer avec une fonction qui a toutes ses singularités sur N, mais ca va pas etre évident d'en fabriquer une convenable..
    En tout cas, je vais essayer.
    Merci.

  6. #5
    Quinto

    Re : Somme infinie

    Je pense avoir trouvé un début de réponse,
    déja cricri, comme annoncé la somme des 1/n² valant pi²/6, si on remarque que n²+1>n² alors la somme des 1/(n²+1) va converger et vers un nombre plus petit que Pi²/6.(l'évaluation à 10 000 000 de termes semble donc etre vraiment "proche" de la réalité)

    Je pense que si on étudie la fonction f
    u->Pi(cos(Pi*x)/((u²+1)sin(Pi*x)) on devrait s'en sortir.
    En effet, elle est holomorphe sur C-N.

    Je calcule ses résidus en n dans N*.

    Res(Pi(cos(Pi*x)/((u²+1)sin(Pi*x)),n)=1/(n²+1)

    Ensuite si on triture un peu tout ca, j'imagine que l'on doit pouvoir se ramener à des choses simples pour calculer ensuite ma somme.
    (notamment de par le théoreme des résidus, ma somme doit etre l'intégrale sur un contour bien choisi de ma fonction f, a un coefficient multiplicatif pres...)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Rincevent

    Re : Somme infinie

    Citation Envoyé par Quinto
    Qu'est ce qui te fait penser à la fonction gamma la dedans?
    elle a ses singularités sur -N, ou alors j'ai tout oublié d'elle depuis que je ne l'ai pas rencontrée en personne ?

    m'enfin, je t'avais prévenu que c'était rien de plus qu'une réaction instinctive et irréfléchie face à une phrase de ton message... en étant un peu plus réveillé, je dirais que la fonction que tu proposes est évidemment bien mieux
    Dernière modification par Rincevent ; 24/11/2004 à 08h07.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  9. #7
    evariste_galois

    Re : Somme infinie

    Alors, alors...

    J'avais eu affaire à ce problème lors d'un TP sous MAPLE, et voilà ce que j'en avais tiré.

    On note PSI(x)= diff( ln(GAMMA(x)), x ) = diff(GAMMA(x), x ) / GAMMA(x), où GAMMA(x)=int( exp(-t)*t^(x-1), t=0..infinity ) (avec la syntaxe Maple).
    Soit donc PSI(x)*GAMMA(x)=diff(GAMMA(x), x ).

    Rappelons que diff(F(x),x) est la dérivée de F par rapport à x dans la syntaxe de Maple.

    Alors,
    sum(1/(n^2+1),n=0..infinity)=i/2*PSI(-i)-i/2*PSI(i)

    Malheureusement, mon niveau actuel en maths ne me permet pas de dire pourquoi cette égalité est vérifiée (pour tout dire je n'ai meme pas encore étudié la fonction Gamma en cours, seulement de manière autodidacte).

    Voilà j'espère que j'ai pu t'aider
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

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  11. #8
    martini_bird

    Re : Somme infinie

    Salut,

    en prenant la définition de Weierstrass de la fonction Gamma (produit infini), et en dérivant son log, on obtient une série:
    http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html

    Pour la série de Quinto, il faut décomposer 1/(n²+1) en élément simple dans C et se ramener à la fonction digamma.

  12. #9
    Rincevent

    Re : Somme infinie

    Citation Envoyé par Rincevent
    en étant un peu plus réveillé, je dirais que la fonction que tu proposes est évidemment bien mieux
    c'est décidé, j'arrête de réfléchir quand je suis réveillé
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  13. #10
    folky

    Re : Somme infinie

    j'aurais pensé à utiliser fourier moi plutot

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