Montrer que R^R et R^N est de dimension infinie ?

[inviteb21cd820]

Salut à tout le monde,

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à prouver que R^R (L'ensemble des Fonctions réelles) et C(R,R) (L'ensemble des Fonctions réelles continues ) et R^N (L'ensemble des suites réelles) sont de dimension infinie ?

J'ai trouvé facile sous R[x] en faisant un contre exemple de famille libre en posant une dimension p et utilisant la base canonique de cardinal p+1, mais j'ai pas trouvé les autres. J'ai bien fouillé sur google sans rien trouver.

Merci d'avance pour toutes vos réponses.
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[invite4ef352d8]

Salut !

les fonctions polynomes d'injecte aussi bien dans C(R,R), R^R que R^n (pour le dernier, l'application P->(Un=P(n)) est bien injective...)
donc tu peux appliquer le même argument !

[invite986312212]

déjà si tu as traité des polynômes, ça règle la question pour les fonctions réelles puisque l'espace des polynômes en est un sous-espace vectoriel (enfin c'est une façon de voir les polynômes). Mais tu peux aussi montrer qu'il n'y a pas de famille libre finie maximale. Autrement dit que si tu te donnes n vecteurs indépendants, tu peux en trouver un (n+1)ième indépendant des premiers. Pour les suites pareil.

edit: Ksilver plus rapide, voilà ce que c'est que de taper sur le clavier d'un "ultra-portable"...

[inviteb21cd820]

Merci beaucoup à tout le monde, j'ai bien compris !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bec0b2b]

Bonsoir.
Je ne sais pas comment commencer la démonstration de la question suivante:
Montrer que l' ensemble des fonctions continues de C(R,R) est de dimension infinie.
Quelqu'un peut-il m' aider ou me donner une piste ? Merci

[Seirios]

Bonsoir,

Tu peux essayer de mettre en évidence une famille libre de cardinal infini (pense aux exponentielles).

On en a parlé il n'y a pas longtemps dans une autre discussion, et on peut même être plus précis en disant que sa dimension est .

[invite8bec0b2b]

Bonjour Phys2.
Merci pour ta réponse.
Je "vois" le problème mais je n' ai pas le fil qui peut m' amener à résoudre ce pbm. Mais loin de moi l' idée d' avoir la réponse toute
donnée dans ce forum mais peut-on raisonner par l' absurde ( mon idée ) en disant que si C est de dimension finie, alors ...

[invited73f5536]

Bonjour.

Comme il a été déjà dit plus haut, les polynômes s'injectent dans l'espace des fonctions continues ... (et l'ensemble des polynômes est un espace de dimension infinie, c'est pas très difficile à voir, considère la famille des monômes )

[Seirios]

mais peut-on raisonner par l' absurde ( mon idée ) en disant que si C est de dimension finie, alors ...

Il me semble que cela reviendra au même ; le moyen d'arriver à une contradiction sera certainement de trouver une famille infinie libre, mais alors le raisonnement par l'absurde ne sera pas utile. A moins que tu ne comptais raisonner différemment ?