Espace vectoriel

[jules345]

Bonjour,

On munit R3 de sa base canonique B=(e1, e2, e3). On note A la matrice
et f l'endomorphisme canoniquement associé à A. Notons pour tout i réel Ai={x R3/f(x)=i.x}

Je dois montrer que Ai est un espace vectoriel.

Merci de m'aider =)
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[Seirios]

Bonjour,

Et selon toi, que dois-tu faire ? Peut-être pas montrer que Ai répond à tous les axiomes de définition d'un espace vectoriel

[jules345]

Ben apparemment c'est pas très conseillé d'après notre prof mieux vaut reconnaitre un ev et montrer que c'est un sev de l'ev reconnu mais dans ce cas la quelle ev ? M3(R) ?

[Seirios]

Tu as , donc tu devrais plutôt regarder du côté de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Sinon il est effectivement plus judicieux de montrer qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu, il ne reste alors plus qu'à montrer que l'ensemble est non-vide, inclu dans l'espace vectoriel considéré et stable par combinaison linéaire. Ici, la démonstration est facilitée par le fait que f soit linéaire.

[jules345]

Ok donc je montre que c'est un R3 ev ? Mais en fait je ne vois pas trop comment utiliser f(x)=i.x ? Dans quelle axiome vais-je en avoir besoin ?

[Seirios]

Tu dois montrer que c'est un sous-espace vectoriel de ; comme je le disais dans mon message précédent, il faut que tu montres que est non-vide (ce qui n'est pas vrai pour tout i), inclu dans (ce qui est vrai par définition) et stable par combinaison linéaire (et c'est là que tu vas utiliser que ).

[jules345]

Ok j'essayes et je te dis ce qu'il en est merci de ton aide en tout cas je voyais pas trop comment partir =)

[jules345]

Ok j'en ai besoin pour montrer la stabilité pour . pas pour + non ? Et j'utilise le fait que c'est un endomorphisme ce qui montre la stabilité c'est sa ? Merci encore de ton aide Phys2

[Seirios]

Et j'utilise le fait que c'est un endomorphisme ce qui montre la stabilité c'est sa ?

Oui, c'est la linéarité qui permet la stabilité.

[jules345]

La linéarité ? Je pensais plutôt utiliser le fait que un endomorphisme est une application de Ai dans Ai non ?

[Seirios]

Dit comme cela, c'est plutôt vague ; si tu aboutis avec ce que tu as en tête, c'est parfait Sinon, tu peux toujours détailler ton raisonnement pour vérifier qu'il soit correct.

[jules345]

Ben j'ai dit que i.x=f(x) pour justifier la stabilité pour . car f est dans Ai

[Seirios]

Pour montrer la stabilité par combinaison linéaire, il faut montrer que pour tout , pour tout , , c'est-à-dire .

[jules345]

Ok ben moi j'ai séparer j'ai montré d'une part la stabilité pour . et pour + et j'ai 2 questions i n'est-il pas un scalaire ? puis je n'ai pas compris pourquoi tu dis que Ai est non vide n'est pas vrai pour tout i parce qeu dans ce cas ce n'est pas un ev ?

[Seirios]

i n'est-il pas un scalaire ?

Oui.

puis je n'ai pas compris pourquoi tu dis que Ai est non vide n'est pas vrai pour tout i parce qeu dans ce cas ce n'est pas un ev ?

Je ne sais pas si tu as déjà vu les valeurs propres, mais une matrice (non-nulle) ne peut avoir une infinité de valeurs propres ; sinon, tu peux t'en convaincre en résolvant le système .

Un espace vectoriel est nécessairement non-vide (il contient un élément neutre).

[jules345]

Ok ben pour te répondre non je n'ai pas encore vu les valeurs propres et merci pour ton explication. Puis je dois montrer que Ai différent de {0} équivaut à det(A-i*I) I étant la matrice identité.
Je ne vois pas trop comment montrer ceci si tu pouvais me donner quelques piste, je te remercie encore =)

[Seirios]

Regarde plutôt en terme d'applications ; que signifie que det(A-i.I) est nul ?

[jules345]

Ben que la matrice A-i.I n'est pas inversible mais je ne sais pas trop quoi faire avec cela.

[Seirios]

Cela veut également dire que l'application f-i.Id n'est n'est pas injective, c'est-à-dire que son noyau n'est pas réduit à l'élément neutre.

[jules345]

Ok mais je dois prouver Ai {0}det(A-i.I)=0
Or la j'ai f-i.Id n'est pas injective comment puis je déduire A.i est différent de {0} ?

[Seirios]

Tu as .