Variables aléatoires

[invite1176919c]

Bonjour

J'ai des difficultés à finir l'exercice suivant : n personnes misent chacune un euro puis inscrivent Pile ou Face sur un papier. Une n+1-eme personne joue avec une pièce équilibrée. La somme de n euros est partagée entre les gagnants. S'il n'y a pas de gagnant les n euros sont donnés à la n+1-eme personne. Pour k dans [1,n] on note X_k la var égale à la somme que reçoit le k-ème joueur.
a) On demande l'espérance de X_k.

Je trouve que pour i entier de [1,n], P(X_k=n/i)=coeffbinomial(n-1,i-1)/2^n puis E(X_k)=1 -1/2^n.
b) Puis on demande l'espérance de X_k^2 sous forme de somme finie et enfin de prouver que E(X_k^2) >= 2n^2/(n+1)^2. (avec pour indication que si f est convexe sur I alors pour tout variable finie discrète X à valeurs dans I, f(E(X)) <= E(f(X)).


J'obtiens E(X_k^2)=sum(i=1^n)n^2/i^2 binomial(n-1)(i-1)/2^n.
Mais pour minorer cette espérance une aide serait bien utile...
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[KerLannais]

Salut,

Cette minoration me semble étrange étant donné qu'avec cette indication il me semble qu'on puisse avoir une bien meilleurs minoration. Peut-être je me trompe, voici comment je procède:
Soit une constante, on définit la variable aléatoire par sa loi:


en d'autre termes la seule différence entre et c'est que vaut quand vaut . On a donc:

De plus

J'utilise l'inégalité de Jensen (l'indication) avec la fonction carré qui est convexe:

soit:

Ceci étant vrai pour quelconque je peux prendre:

pour obtenir:


Je dis que cette minoration est meilleure car:

(ça je te laisse vérifier c'est pas dur)
et

alors que