variables aleatoires (probabilités)

[invite2c92c235]

salut tout le monde!
j'espère que je peux poser cette question ici

en fait c'est une question simple.
vrai ou faux

1- deux variables aléatoires centrées X et Y sont non corrélées lorsque
E[X Y]=0?

2- deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[X Y]=0 ?

Bien sur j'ai réfléchi à la question.

je crois que la première proposition est vraie, il s'agit de la corrélation entre X et Y qui est égale a covariance(XY)/ [écart type(X)*écart type(Y)]
il suffit que la covariance soit égale à zéro.
cov(XY)= E[XY] - E[X] E[Y]
d'après l'énoncé E[XY]=0
et comme X et Y sont deux v.a centrées alors E[X]=0 et E[Y]=0
donc la corrélation =0.

la deuxieme proposition est je crois fausse.
prenons toujours le coefficient de corrélation
r(XY)=covariance(XY)/ [ecart type(X)*ecart type(Y)]
r(XY)=cos(alpha) si X et Y sont des vecteurs. donc pour que les variables soient orthogonales il faut que cos(alpha)=0 donc toujours la corrélation nulle par conséquent une covariance nulle.
mais comme il n'est pas dit que les v.a X et Y sont centrées donc la corrélation n'est pas nulle et par conséquent les vecteurs X et Y ne sont pas orthogonaux.
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[invite97a526b6]

salut tout le monde!

2- deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[X Y]=0 ?

la deuxieme proposition est je crois fausse.
.

Il me semble à moi qu'elle est vraie:
E[X Y] := Intégrale sur W de (XY dP) = 0
en précisant:
X v.a. c'est à dire X : (W,F) --> (IR^p,B(IR^p)) et (W,F,P) espace probabilisé, B(IR^p) := boréliens de IR^p.
De même pour Y

Intégrale sur W de (XY dP) est le produit scalaire des fonctions X et Y et s'il est nul, alors par définition les deux fonctions sont orthogonales.

[invite57a1e779]

Intégrale sur W de (XY dP) est le produit scalaire des fonctions X et Y et s'il est nul, alors par définition les deux fonctions sont orthogonales.

C'est un produit scalaire,mais ce n'est pas le seul. Pour parler d'orthogonalité, il faut savoir quel est le produit scalaire utilisé. La question posée n'a donc aucune réponse.

[invite97a526b6]

C'est un produit scalaire,mais ce n'est pas le seul. Pour parler d'orthogonalité, il faut savoir quel est le produit scalaire utilisé. La question posée n'a donc aucune réponse.

Le produit scalaire en question est défini sans aucune ambiguité: c'est évidemment celui défini par la définition même de:
E[XY] := Intégrale de (XY dP)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Le produit scalaire en question est défini sans aucune ambiguité: c'est évidemment celui défini par la définition même de:
E[XY] := Intégrale de (XY dP)

Je ne vois pas pourquoi ce serait évidemment celui-ci et pas un autre, aucun contexte n'est donné aux questions...
Il est très possible que la notion d'orthogonalité envisagée soit relative à la forme bilinéaire symétrique qu'est la covariance.
Je maintiens qu'il y a ambiguïté dans la question.

[invite97a526b6]

Je ne vois pas pourquoi ce serait évidemment celui-ci et pas un autre, aucun contexte n'est donné aux questions...
Il est très possible que la notion d'orthogonalité envisagée soit relative à la forme bilinéaire symétrique qu'est la covariance.
Je maintiens qu'il y a ambiguïté dans la question.

Ben, justement c'est de celui-là dont je parle, le seul PS qui soit défini par les données du problème.

[invite57a1e779]

Non !!!
Le problème fait intervenir deux formes bilinéaires symétriques :

.

La question porte sur "deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[XY]=0 ".
Pour la première forme bilinéaire symétrique, la réponse est "VRAI"
Pour la seconde forme bilinéaire symétrique, la réponse est "FAUX", sauf si l'on a l'hypothèse supplémentaire que l'une des variables aléatoires au moins est centrée.

[invite97a526b6]

Non !!!
Le problème fait intervenir deux formes bilinéaires symétriques :

.

La question porte sur "deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[XY]=0 ".
Pour la première forme bilinéaire symétrique, la réponse est "VRAI"
Pour la seconde forme bilinéaire symétrique, la réponse est "FAUX", sauf si l'on a l'hypothèse supplémentaire que l'une des variables aléatoires au moins est centrée.

Justement, c'est bien l'hypothèse du problème, relis l'énoncé.

[invite57a1e779]

1- deux variables aléatoires centrées X et Y sont non corrélées lorsque
E[X Y]=0?

2- deux variables aléatoires X et Y sont orthogonales lorsque E[X Y]=0 ?[/QUOTE]

Dans la question 2, il n'est pas dit que les variables sont centrées, il n'est pas dit que l'on conserve les hypothèses de la question 1.
Dans la question 2, on envisage l'espérance de XY, mais il n'est pas dit par rapport à quoi est définie la notion d'orthogonalité.

[invite97a526b6]

Justement, c'est bien l'hypothèse du problème, relis l'énoncé.

En fait, même cette hypothèse de centrage de X et Y n'est pas nécessaire pour définir leur orthogonalité. cela est assez bien expliqué dans la remarque page 27 du document suivant:

math1.unice.fr/~diener/probas/MainProba.pdf

[invite57a1e779]

Il est justement bien expliqué que, si l'on ne se restreint pas aux variables centrées, la covariance est une forme bilinéaire symétrique, mais non définie positive. Ainsi, les variables orthogonales sont définies par , ce qui n'est pas équivalent à .

Mais j'ai l'impression d'être dans un dialogue de sourd.

[invite97a526b6]

Il est justement bien expliqué que, si l'on ne se restreint pas aux variables centrées, la covariance est une forme bilinéaire symétrique, mais non définie positive. Ainsi, les variables orthogonales sont définies par , ce qui n'est pas équivalent à .

Mais j'ai l'impression d'être dans un dialogue de sourd.

Certe, si on veut être puriste, on doit dire:
cov(X,Y) = 0 <==> X - E[X] et Y - E[Y] sont orthogonales dans L²(P)
Plutôt que de dire:
X et Y orthogonales (centrées ou non) <==> les variables centrées le sont dans L².

[invite57a1e779]

Bien sur j'ai réfléchi à la question.

la deuxieme proposition est je crois fausse.
prenons toujours le coefficient de corrélation
r(XY)=covariance(XY)/ [ecart type(X)*ecart type(Y)]
r(XY)=cos(alpha) si X et Y sont des vecteurs. donc pour que les variables soient orthogonales il faut que cos(alpha)=0 donc toujours la corrélation nulle par conséquent une covariance nulle.
mais comme il n'est pas dit que les v.a X et Y sont centrées donc la corrélation n'est pas nulle et par conséquent les vecteurs X et Y ne sont pas orthogonaux.

Je pense que notre ami atrda fait la différence entre
– la forme covariance dans qui n'est que positive ;
– le produit scalaire canonique dans qui est défini positif ;
– la forme unique qu'induisent les deux formes précédentes sur , qui est définie positive.

[invite2c92c235]

merci les amis pour vos réponses.

j'en conclu que pour God's Breath ma réponse est juste s'il s'agit de la deuxième forme bilinéaire symetrique.

et que pour FANFAN on a pas besoin d'avoir une variable aléatoire cetréé pour l'orthogonalité!

[invite57a1e779]

'en conclu que pour God's Breath ma réponse est juste s'il s'agit de la deuxième forme bilinéaire symetrique.

Non, non ,non !!!

J'ai dit, dans ma réponse #3 que la question n'avait pas de réponse.
Et je maintiens ma position.

J'ai simplement essayé d'argumenter tout l'après-midi sur le fait qu'il y avait plusieurs interprétations possibles du mot "orthogonal", que l'énoncé ne me semblait en imposer aucune, et que tu n'utilisais pas de façon naturelle celle qui est "évidente" pour FANFAN.

[invite2c92c235]

en fait quand God's Breath dit que cov(XY)=0 n'est pas pareil que
E(XY)=0.
en réalité pour une interpretation géometrique du probléme on definit X'=X-E(x)
Y'=Y-E(Y) deux vecteur centrés
en developpant E(X'Y') on aura E(XY) - E(X) E(Y)

c'est ce que j'ai compris de l'explication de FANFAN, ceci dit la deuxieme proposition reste toujours fausse suivant ce raisonnement.