{Topologie} Q partout dense dans R mais Z non-dense dans R ?

[herman]

Bonsoir,

J'essaye de comprendre, à travers la topologie, en quoi :

intérieur de vide

Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

Q est dense dans R donc Qbarre, son adhérence qui désigne l'ensemble des points pouvant être représentés comme la limite d'une suite de Q, est R. D'ailleurs c'est l'idée qui est à la base de la construction de IR.

L'adhérence de Z est Z (car Z est fermé notamment). Et l'intérieur est donc vide (tu ne peux pas trouver d'intervalle ouvert non vide dans Z).

[herman]

Bonjour,

La question est de démontrer leur densité donc on ne peut pas partir du fait que Q est partout dense dans R.

Ensuite Z est un ensemble fermé c'est ça ? Car je viens de me rendre compte que je devais faire la fameuse confusion entre "borné" et "fermé"...bref effectivement Z étant un ensemble fermé il est égal à son adhérence et son intérieur est vide.

Merci.

[taladris]

Salut,

Z étant un ensemble fermé il est égal à son adhérence et son intérieur est vide.

Pour être sûr qu'il n'y ait pas de confusion possible: le fait que Z soit d'intérieur vide n'est pas une conséquence du fait que Z soit fermé. Il existe beaucoup d'ensembles fermés d'intérieur non vide. Par exemple, tous les segment [a,b] (avec a<b), R, etc...

[A voir en vidéo sur Futura]