comment montrer que R\Q dense dans R

[invite175629cb]

comment montrer que R\Q dense dans R
merci d avance
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[invitea0db811c]

BONJOUR,
Quelques indices en vrac...

1) on sait que Q est dense dans R
2) un élément u de R est dans l'intervalle ]x,y[ (x et y des réels évidemment distincts) si et seulement si il existe t€]0,1[ tel que
u= t*x + (1-t)*y
3) racine de 2 sur 2 est irrationnel et strictement plus petit que 1

Bonne chance

[invite175629cb]

merci beaucoup

[invite986312212]

est-ce qu'il ne faut pas démontrer que racine de 2 est un réel? on peut le déduire de l'axiome de la borne supérieure, mais est-ce qu'on ne peut pas obtenir directement le résultat à l'aide de cet axiome?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

En fait la difficulté vient de ce que l'on ne connait pas les propriétés déjà démontrées sur IR et Q...

[invite2e5fadca]

Méthode 1 : Tu peut montrer que entre deux rationnels il y a toujours un irrationnel. (En utilisant le fait que R est archimédien).

Méthode 2 : Il me semble qu'un ensemble est dense ssi son complémentaire est d'intérieur vide.

[invite3240c37d]

Pour tout rationnel , la suite d'irrationnels converge vers ..