Comment montrer que i²=-1
Bonjour,
Sur mon cour il est écrit cette évidence :
"Il vient i²= (0+1i)(0+1i)= -1 + 0i, donc nous avons la formule importante : i²=-1"
J'ai beau développé l'expression, je ne trouve pas le résultat. Je pense que c'est une convention... Y a t'il quelqu'un qui pourrait m'expliquer de la façon la plus précise possible ?
Merci!
En fait ca dépend comment c'est présenté dans ton cours. Si tu es en terminale, considère que c'est une convention.
Sinon, on définit le corps des complexes comme l'ensemble de couple (x, y) de réels, muni de la loi +:
(x, y) + (x', y') = (x+x', y+y')
et de la loi *:
(x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y)
Et dans ce cadre là, on définit i = (0,1), et on vérifie que i^2=-1
Je me Carl Friedrich
onjour.
Une bonne discussion là :
http://maths-forum.com/showthread.ph...light=i^2%3D-1
Bonjour,
Tu peux aller voir ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...gal-a-1-a.htmlSur mon cour il est écrit cette évidence :
"Il vient i²= (0+1i)(0+1i)= -1 + 0i, donc nous avons la formule importante : i²=-1"
J'ai beau développé l'expression, je ne trouve pas le résultat. Je pense que c'est une convention... Y a t'il quelqu'un qui pourrait m'expliquer de la façon la plus précise possible ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Voici un théorème que j'ai écrit dans mon cours et que nous avons considérer comme admis:
Il existe un ensenbme notéappelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriété suivante:
*
*L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les regles de calculs restent les mêmes.
*Il existe un nombre complexe noté i tel que i²=-1
*Tout nombre complexe z s'écrit de la manière suivante: z=a+ib avec
Coté histoire, nous avons introduit le chapitre en revenant quelques 500 ans en arrière, en 1945, lorsque le mathématicien Jérome Cardan publie un ouvrage d'algèbre du nom de "L'ars Magna". Dans cet ouvrage il resolvait des équations du troisième degré dans l'ensemble des réels positifs en mettant au point des règles telque la suivante:
Dans l'équation
Bombelli (1526-1572) aurait alors remarquer que cette méthode était inapplicable sur certaines équations, et inventa "quelque chose" dont le carré serait négatif.
C'est alors Euleur qui dans ces éléments d'algèbre posa i²=-1.
Voilà c'est tout ce que j'ai sur le sujet.
C'est vraiment "anti-intuition" cette manière de présenter la chose (mais effectivement, on la voit ici et là...) : j'imagine un mec qui se lève un matin et qui se dit : << tiens, bien sûr, évidemment, je pose (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) ... >>Envoyé par ydethe
Personnellement, je préfère une définition par la présentation de générateurs et de relations : générateur i sur R et la relation
Dans le même genre, on a la définition algébrique plus sophistiquée,
Mouais... La différence entre (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) et (aX+b)*(cX+d) modulo X²+1 (qui est la multiplication pourC'est vraiment "anti-intuition" cette manière de présenter la chose (mais effectivement, on la voit ici et là...) : j'imagine un mec qui se lève un matin et qui se dit : << tiens, bien sûr, évidemment, je pose (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) ... >>
(...)
Dans le même genre, on a la définition algébrique plus sophistiquée,
La seconde à surtout l'avantage de montrer que la construction est générique (et amène à s'interroger sur
Cordialement,
Bonsoir,
Mâcher quel travail ? De quel travail parles-tu ? on ne manipule quasiment jamais les nombres complexes sous forme de couples (x,y)...Mouais... La différence entre (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) et (aX+b)*(cX+d) modulo X²+1 (qui est la multiplication pour
Poser "brutalement" (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) est plus simple ? Je ne le crois pas, sinon pourquoi ne le fait-on pas comme ça en terminale ? Cela dit, si certains profs prennent cette formulation en bac+1, il y a des raisons, c'est vrai.
La différence n'est pas flagrante ? Si, la seconde explique simplement la première : on a "naturellement"
Face à RxR, il est "naturel" (c'est subjectif, ok) de définir une multiplication "cartésienne" : (x,y) (x',y') = (xx', yy') , exactement comme l'addition. Certes, cette multiplication ne rend pas -1 carré. Mais elle rend parfois d'autres services.
bonsoir,
personne n'en a parlé mais en partant de la multiplication en notation module argument on obtient aussi une construction des complexes assez logique
Il y a plein de méthodes de constructions des complexes, toutes donnant des structures isomorphes (on pourrait donc dire une seule structure), chacune de ces méthodes permet d'obtenir i² = -1, à chaque fois avec une démonstration différente.
A la question quelle est la meilleure façon de construire les complexes, la seule réponse qui me vienne est "Ca dépend !" (a minima de "à qui on s'adresse" et de "qu'est-ce qu'on veut en faire").
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si on revient à la question d'origine, dire i²=-1 est bien une convention; c'est une définition du symbole "i" (précisément "i est une solution de z²+1=0").
Toutes les constructions de C permettent de montrer que l'équation z²+1=0 a exactement deux solutions opposées l'une de l'autre dans C, solutions que l'on note par convention i et -i.
(Le choix de la solution notée "i" n'a aucune importance, point en lui-même très important : toute affirmation sur C garde la même valeur de vérité par conjugaison de tous les complexes y apparaissant implicitement ou explicitement.)
Cordialement,
Car ce sont deux des structures isomorphes dont je parlais.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui.
L'existence d'un automorphisme autre que le trivial mérite d'être appuyé, d'être singularisé, àmha.
(En hors sujet : n'y a-t-il pas là un problème avec la sainte phrase "à un isomorphisme unique près" ?)
Cordialement,
J'essayais de comprendre comment l'auteur de mon livre a réussis à arriver à -1 (je ne suis pas en terminal Ydethe).
En tout cas j'ai eu pas mal d'information ici, riche en liens et en discussions, vraiment merci beaucoup!
Je m'en tiendrais à ta conclusion
Cordialement
Prompi
Dans quel contexte (théorie des catégories ?), car je peux facilement imaginer des cas où il existe une infinité d'isomorphismes entre deux structures.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne sais pas trop. Dans le contexte le plus général, quand il est dit qu'en mathématiques les "objets" sont définis "seulement" à un isomorphisme unique près.
C'est clair pour le corps R, ou pour l'anneau Z. Mais pour les corps C ou H, je ne suis pas bien clair qu'est-ce qu'on appelle "le corps C" à un isomorphisme unique près.
Cordialement,
Je n'ai pas souvenir de cette expression (sauf en théorie des catégories pour les objets initiaux et finals et plus généralement dans le cadre de problèmes universels), elle est manifestement fausse dans le cas très simple des ordres totaux denses sans extremums.
Cordialement,
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai pas lu en detail votre discussion , maiis je pense que la reponse suivante peut vous eclairer
Par lemme de Yoneda, si
Dans le cas de
ah ben moi j'avais compris que l'isomorphisme entre deux clôtures algébriques n'était pas unique, d'où l'expression une clôture algébrique.
déjà entre C et C il y a 2 isomorphismes...
Hmmm....
En fait je me suis trompé. La cloture algebrique n'est pas representant d'un foncteur... Donc il faut comprendre l'unicite dans un autre sens.
Desole.
Qu'est-ce qui permet d'écrire le corps C, avec l'article défini, plutôt que un corps C?
Plus généralement, qu'est-ce qui permet en mathématiques d'utiliser l'article défini? (le plan euclidien, l'ensemble N, etc.)
Cordialement,
PS: Je suis évidemment d'accord avec Ambrosio, ses interventions sont bien en rapport avec la question. Question qui reste un hors sujet et pourrait être vue comme une parenthèse à fermer, à moins que Prompi estime qu'il a eu une réponse suffisante à son interrogation.
Dernière modification par invité576543 ; 29/06/2009 à 10h08.
Le théorème dit : Si
Il se trouve qu'en general tout ce qu'on fait est independant de la cloture algebrique qu'on choisit, alors abusivement on parle de "une" cloture. Si quelqu'un a un exemple où cet abus entraine une erreur de raisonnement alors je suis preneur !
Sinon j'ai une question : Faut-il l'axiome du choix pour prouver le theoreme que j'ai enonce dans le cas du corps des reels ??
C'est a dire : si on prend
Ce qui l'autorise c'est l'existence d'un isomorphisme, pas que l'isomorphisme soit unique (exemple des relations d'ordre).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et même plus cf. le #40 des contre-exemples.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le simple fait de parler d'isomorphisme indique qu'on parle de deux choses distinctes, sauf la seule exception qui est l'identité.
Et on n'utilise pas en français l'article "le" pour parler de deux choses ou plus.
Cordialement,
ah oui, je ne connaissais pas...
mais ce qui compte pour les extensions L/K c'est les isomorphismes laissant invariant le corps K.
Justement, mais avec un certain degré d'abstraction.
Si tu as deux gommettes rouges (issues de la même boîte), dirais-tu que tu as deux rouges ? Avec le seul langage des couleurs, ces deux gommettes sont indiscernables, elles ne définissent qu'un seul rouge (j'avoue que pour les corps et pour les modèles en général c'est un peu plus compliqué que pour les gommettes, mais l'idée est là).
Une autre façon de dire les choses : est-ce que j'ai deux voitures simplement parce parfois je la désigne par "ma voiture" et de temps en temps par "la voiture de N° 0000 AA 00" ? Or c'est ce que l'on risque de faire en ne travaillant pas "à isomorphisme près", par exemple en disant qu'il y a une infinité de groupes à 1 seul élément.
Ceci étant dit, il va de soi que si on utilise souvent (y compris moi) l'expression "unique à isomorphisme près" c'est pour lever toute ambiguité.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pas exactement la même chose, non? Ce sont juste des automorphismes de corps, on peut considérer que C désigne une structure plus riche que celle de corps (topologie, relation avec R).
Alors que la conjugaison respecte toutes les structures sous-entendues par "C", sauf (peut-être) celles correspondant à un choix explicite de i, non?
Cordialement,
Bien sûr.
Le point est que quand quelque chose est défini à un isomorphisme unique près, comme l'anneau Z, le degré d'abstraction est clair.
C'est bien la question du "certain degré d'abstraction" qui se pose dans le cas comme C, H et autres structures à automorphisme non trivial (le groupe de Klein, pour citer un cas fort simple).
Mon point n'est pas le travail "à un isomorphisme près". C'est celui de l'unicité de l'isomorphisme.Une autre façon de dire les choses : est-ce que j'ai deux voitures simplement parce parfois je la désigne par "ma voiture" et de temps en temps par "la voiture de N° 0000 AA 00" ? Or c'est ce que l'on risque de faire en ne travaillant pas "à isomorphisme près", par exemple en disant qu'il y a une infinité de groupes à 1 seul élément.
(Et l'exemple du groupe à 1 seul élément est un exemple "à isomorphisme unique près". Donc peu pertinent pour discuter de la différence dont j'essaye de comprendre l'importance.)
L'expression ainsi donnée ne donne pas beaucoup d'information. Je la comprend comme dire "on s'intéresse à la classe modulo l'isomorphisme, pas à l'instance" alors qu'on n'a pas envie ni de raison d'ajouter "instance de" partout.Ceci étant dit, il va de soi que si on utilise souvent (y compris moi) l'expression "unique à isomorphisme près" c'est pour lever toute ambiguité.
Quand on peut dire "à isomorphisme unique près" c'est beaucoup plus informatif, cela veut dire qu'il y a un unique moyen de transporter les propriétés d'une instance à des propriétés d'une autre instance. Aucun risque d'ambiguïté.
Le risque d'ambiguïté n'est pas une invention de l'esprit. Il y a eu des plantages parce qu'une spécification indiquait "tourner dans le sens direct". L'ambiguïté (qui est la même qu'entre i et -i, remarquons le) n'était pas perçue par le spécificateur, alors que l'existence d'un isomorphisme était claire (même si non pensée comme telle) : c'est la non unicité qui est en cause.
Cordialement,
