Comment montrer que i²=-1

[Médiat]

Pas exactement la même chose, non? Ce sont juste des automorphismes de corps, on peut considérer que C désigne une structure plus riche que celle de corps (topologie, relation avec R).

Voilà qui met en évidence ce qu'il m'arrive de rappeler de temps en temps (tout en tombant dans le piège régulièrement), IN, IR etc. tout cela ne veut rien dire si on ne précise pas la structure (le langage) dont on parle.

Jusqu'à présent il n'était question que de la structure de corps, d'où ma suggestion (surtout pour ambrosio à cause de sa remarque) d'envisager des automorphismes non continus (qui donc ne préservent pas la topologie).

Alors que la conjugaison respecte toutes les structures sous-entendues par "C", sauf (peut-être) celles correspondant à un choix explicite de i, non?

La conjugaison est un automorphisme de corps (on devrait dire du langage de la théorie des corps) continue, il respecte donc la structure de corps et la topologie, mais de la à dire toutes les structures sous-entendues, je ne pourrais avoir un avis qu'avec une idée de ce que tu "entends" par "sous-entendues" (si il s'agit de toutes les structures que l'on pleut plaquer sur "C", alors non ! la conjugaison ne les respecte pas toutes).
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[Médiat]

Le point est que quand quelque chose est défini à un isomorphisme unique près, comme l'anneau Z, le degré d'abstraction est clair.

Personnellement, je ne vois pas de différence sur ce point (le degré d'abstraction)

Mon point n'est pas le travail "à un isomorphisme près". C'est celui de l'unicité de l'isomorphisme.

Si il n'y a qu'un seul isomorphisme entre deux structures cela est équivalent à dire que la première (par exemple) est exempte d'automorphisme (autre que l'identité), ce qui sous-entend une certaine "rigidité" de la structure, a priori je ne vois pas d'autres implication de cette différence

(Et l'exemple du groupe à 1 seul élément est un exemple "à isomorphisme unique près". Donc peu pertinent pour discuter de la différence dont j'essaye de comprendre l'importance.)

Je note que tu as écrit Le groupe à 1 élément .
Le groupe (peut-être aimerais-tu dire "Les groupes") à 3 éléments te fournit un exemple où l'isomorphisme n'est pas unique.

L'expression ainsi donnée ne donne pas beaucoup d'information. Je la comprend comme dire "on s'intéresse à la classe modulo l'isomorphisme, pas à l'instance" alors qu'on n'a pas envie ni de raison d'ajouter "instance de" partout.

Oui, que l'isomorphisme soit unique ou non.

Quand on peut dire "à isomorphisme unique près" c'est beaucoup plus informatif, cela veut dire qu'il y a un unique moyen de transporter les propriétés d'une instance à des propriétés d'une autre instance. Aucun risque d'ambiguïté.

C'est ce que j'ai appelé ci-dessus la "rigidité"

Le risque d'ambiguïté n'est pas une invention de l'esprit. Il y a eu des plantages parce qu'une spécification indiquait "tourner dans le sens direct". L'ambiguïté (qui est la même qu'entre i et -i, remarquons le) n'était pas perçue par le spécificateur, alors que l'existence d'un isomorphisme était claire (même si non pensée comme telle) : c'est la non unicité qui est en cause.

Qui est lié, comme je l'ai dit ci-dessus à l'existence d'automorphisme(s).

[invité576543]

Je note que tu as écrit Le groupe à 1 élément .
[B]

Normal, puisque qu'il est défini à un isomorphisme unique près.

Qui est lié, comme je l'ai dit ci-dessus à l'existence d'automorphisme(s).

Bien sûr. Ai-je jamais dit autre chose?

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En bref, je ne vois pas de substance dans les réponses. Peut-être que je me pose un faux problème, je ne suis pas du genre à l'exclure.

Quoiqu'il en soit, rien dans les réponses ne va me pousser à rester moins vigilant à détecter les automorphismes et à garder en tête l'ambiguïté que cela amène. Et de rigoler intérieurement quand je lis "soit le plan euclidien orienté dans le sens direct" ou "on oriente le plan dans le sens dit « trigonométrique »", ou "i la racine de -1".

Cordialement,

[invité576543]

Le groupe (peut-être aimerais-tu dire "Les groupes") à 3 éléments te fournit un exemple où l'isomorphisme n'est pas unique.

J'avais moi-même proposé le groupe de Klein. Il m'intéresse plus, parce que l'inversion a --> a^-1 (et permutation gauche/droite) est le deuxième automorphisme par ordre de trivialité : il s'applique à tous les groupes, non?

Cordialement,

[Médiat]

En bref, je ne vois pas de substance dans les réponses.

Je n'aurais pas eu longtemps à attendre, ne t'étonne pas si j'essaye de réprimer ma nature profonde et que je ne réponde pas à tes prochaines interrogations qui seraient dans mon domaine de compétence.

Je trouve le "cordialement", après une telle remarque, limite foutage de gueule !

[invité576543]

Je n'aurais pas eu longtemps à attendre, ne t'étonne pas si j'essaye de réprimer ma nature profonde et que je ne réponde pas à tes prochaines interrogations qui seraient dans mon domaine de compétence.

Je trouve le "cordialement", après une telle remarque, limite foutage de gueule !

Je trouve toujours intéressantes ce genre de réaction.

Je n'ai pas écrit qu'il n'y a pas de substance, juste que je ne la vois pas. J'ai même écrit qu'il était possible que je me posais un faux problème, ce qui est une excellente explication pour une absence de réponse substantielle : que répondre d'autre à un faux problème que c'est un faux problème.

Donc, j'expose un constat d'échec, j'explique en clair mes limitations. Et c'est interprété autrement!

Une autre approche aurait été d'essayer de montrer la substance d'une autre manière, ou de confirmer que ma question est considérée comme un faux problème. Toutes les perches étaient tendues pour l'une ou l'autre réponse, mais le choix s'est porté ailleurs.

Je sais bien qu'il faut éviter de brusquer certaines susceptibilités, mais quand je n'arrive pas à me faire comprendre j'arrête d'essayer au bout d'un certain temps (constat d'échec) et je m'interroge pourquoi JE n'arrive pas à me faire comprendre.

J'ai peut-être le tort de l'écrire, mais je trouve cela plus utile (et plus cordial) que de me barrer de la discussion sans expliquer pourquoi ni laisser une possibilité d'une autre voie.

et que je ne réponde pas à tes prochaines interrogations qui seraient dans mon domaine de compétence.

C'est la partie la plus surprenante de la réaction. Cela se justifie comment, exactement?

Cordialement,

[leon1789]

Quoiqu'il en soit, rien dans les réponses ne va me pousser à rester moins vigilant à détecter les automorphismes et à garder en tête l'ambiguïté que cela amène. Et de rigoler intérieurement quand je lis "soit le plan euclidien orienté dans le sens direct" ou "on oriente le plan dans le sens dit « trigonométrique »", ou "i la racine de -1".

Cordialement,

oui, je le pense aussi.

Cela dit, heureusement qu'on travaille à isomorphisme près sans le dire la plupart du temps, sinon on ne s'en sortirait pas dans la rédaction. Cela étant, parfois des choses "étranges" apparaissent, et là, il est nécessaire de faire attention aux isomorphismes. Bref, il faut être averti, sans tomber dans la paranoïa. C'est pas bien grave si nous pensons à des corps C différents : s'ils sont engendrés par R et une racine carrée de -1, ça devrait aller...

[leon1789]

Sinon j'ai une question : Faut-il l'axiome du choix pour prouver le theoreme que j'ai enonce dans le cas du corps des reels ??

C'est a dire : si on prend une cloture de , on sait que est algebrique sur et on veut en deduire un isomoprhisme de dans (En fait un morphisme tout court suffit). Je ne vois pas comment faire cela sans l'axiome du choix. (A noter que la construction de ne necessite pas l'axiome du choix donc ma question est coherente).

Je ne pense pas qu'on est besoin de l'axiome du choix en tant que tel :
dans K, il existe exactement deux racines carrées de -1, on les notes j et k (bien sûr j+k=0). Ensuite on définit deux isomorphismes entre K et C qui envoient
-- pour l'un, j sur i , et donc k sur -i
-- pour l'un, j sur -i , et donc k sur i

Aucun des deux isomorphismes n'est canonique certes ! mais on n'a pas besoin de l'axiome du choix pour les définir, il me semble.

[invité576543]

Quand on ne connait pas le contexte d'une conversation

C'est un forum public. Les lecteurs jugent en fonction de ce qui est public: le contexte d'une conversation est visible de tous, puisque tous les échanges publics sont écrits et conservés.

Cordialement,

[Médiat]

Je trouve toujours intéressantes ce genre de réaction.

Et bien toutes mes interventions n'auront donc pas été inutiles et sans substance !

Je n'ai pas écrit qu'il n'y a pas de substance, juste que je ne la vois pas. J'ai même écrit qu'il était possible que je me posais un faux problème, ce qui est une excellente explication pour une absence de réponse substantielle : que répondre d'autre à un faux problème que c'est un faux problème.

J'ai répondu avec un sérieux total à une question qui n'est pas un faux problème ; la différence entre "je ne vois pas la substance" et "il n'y a pas de substance" est purement rhétorique, si vous ne la voyez pas cette substance tout en supputant qu'il y en a, le plus simple est de demander gentiment des précisions au lieu d'affirmer que les réponses sont sans substance (je persiste à ne voir que de la rhétorique dans "je ne vois").

Donc, j'expose un constat d'échec, j'explique en clair mes limitations. Et c'est interprété autrement!

Quel échec ? Vous chercher à faire la différence entre "à isomorphisme près" et "à isomorphisme unique près", et je vous ai donner la réponse : dans le deuxième cas la structure étudiée n'a pas d'automorphisme différent de l'égalité, mais votre réponse fut "Ai-je jamais dit autre chose?". Est-il encore nécessaire de commenter ce genre de remarque, qui veut très exactement dire que j'ai perdu mon temps, puisque manifestement vous connaissiez la réponse (si vous l'aviez annoncé dès le premier post nous aurions gagné du temps).

J'ai peut-être le tort de l'écrire, mais je trouve cela plus utile (et plus cordial) que de me barrer de la discussion sans expliquer pourquoi ni laisser une possibilité d'une autre voie.

Avez-vous compris, maintenant pourquoi "je me barre de la discussion" ?

C'est la partie la plus surprenante de la réaction. Cela se justifie comment, exactement?

Surprenant, surement pas : à chaque fois que j'interviens sur un sujet que je connais, pour vous répondre, c'est à dire pour vous rendre service, ou pour exposer un avis différent du votre, je m'aperçois que la probabilité que je sois amené à le regretter tend vers 1 (a minima à cause de votre ton (au mieux) condescendant). Je ne vous donne pas la liste, je suppose que vous la connaissez puisqu'elle commence, je vous l'ai rappelé récemment, à la première réponse que je vous ai faites sur ce site !

[invité576543]

J'ai répondu avec un sérieux total à une question qui n'est pas un faux problème

Ah!

; la différence entre "je ne vois pas la substance" et "il n'y a pas de substance" est purement rhétorique

Désolé que ce soit vu ainsi. Je choisis d'écrire "je ne vois pas" pour rester factuel, pas pour faire de la rhétorique. Je trouverais 1) fort impoli, 2) bien présomptueux et 3) ne reflétant pas ma pensée d'écrire "il n'y a pas de substance".

, si vous ne la voyez pas cette substance tout en supputant qu'il y en a, le plus simple est de demander gentiment des précisions

C'est exactement ce que j'ai fait pendant 5 ou 6 messages avant de conclure en constat d'échec.

Quel échec ?

Le mien. Celui ne me pas avoir réussi à me faire comprendre.

Avez-vous compris, maintenant pourquoi "je me barre de la discussion" ?

Non.

Surprenant, surement pas : à chaque fois que j'interviens sur un sujet que je connais, pour vous répondre, c'est à dire pour vous rendre service, ou pour exposer un avis différent du votre, je m'aperçois que la probabilité que je sois amené à le regretter tend vers 1

Effectivement. Mais la répétitivité du scénario devrait permettre de trouver des parades autres que l'évitement.

De mon côté, j'arrive à une probabilité assez grande, mais pas 1, d'avoir de l'information avant que (éventuellement) ma frustration à ne pas arriver à me faire comprendre m'amène à une maladresse qui déclenche une susceptibilité qu'il m'est difficile de juger comme bien ou mal placée.

Cette probabilité assez grande explique pourquoi je n'ai pas systématiquement en tête d'adapter mon comportement, surtout que cette adaptation est très spécifique.

Dans le cas présent, l'information que j'en ai tirée est plutôt que je me pose un faux problème, et qu'il me faut prendre du temps de réfléchir pourquoi.

Cordialement,

[pepejy]

Bonsoir,


Mâcher quel travail ? De quel travail parles-tu ? on ne manipule quasiment jamais les nombres complexes sous forme de couples (x,y)...

Poser "brutalement" (x, y) * (x', y') = (x*x' - y*y', x*y' + x'*y) est plus simple ? Je ne le crois pas, sinon pourquoi ne le fait-on pas comme ça en terminale ? Cela dit, si certains profs prennent cette formulation en bac+1, il y a des raisons, c'est vrai.
...

bonsoir,

j'arrive un peu tard dans le débat, mais c'est pourtant ainsi qu'on le faisait en terminale C, d'ailleurs on le liait en partie au cours d'algèbre linéaire. mais c'est un peu loin tout ca!!!

[leon1789]

bonsoir,

j'arrive un peu tard dans le débat, mais c'est pourtant ainsi qu'on le faisait en terminale C, d'ailleurs on le liait en partie au cours d'algèbre linéaire. mais c'est un peu loin tout ca!!!

Disons alors que cela dépend des enseignants.

Sur le net, on trouve
http://www.intellego.fr/soutien-scol...omplexes/34300
ou
http://www.netprof.fr/Voir-le-cours-...,54,451,1.aspx
...

[invitec317278e]

Tu montres des cours de Terminale S et non de Terminale C

[leon1789]

Tu montres des cours de Terminale S et non de Terminale C

Mes exemples, donnés pour vous rendre service, seraient-ils inutiles et sans substances ? Pourquoi réprimer ma nature profonde ?

[leon1789]

Tu montres des cours de Terminale S et non de Terminale C

bonsoir,

j'arrive un peu tard dans le débat, mais c'est pourtant ainsi qu'on le faisait en terminale C, d'ailleurs on le liait en partie au cours d'algèbre linéaire. mais c'est un peu loin tout ca!!!

Bon, je reprends un bouquin de terminales C et E précisément le Terracher de 1992 (Hachette) . Ni l'introduction (activité préparatoire), ni la "définition de C" dans le cours ne passent par RxR.

[pepejy]

bonjour,

la période est encore antérieur. Je crois que l'algèbre linéaire a été supprimé des programmes en 1987. Mais je t'assure que la définition de C qui nous était donnée, à mon époque , passait par RxR

Cordialement

[leon1789]

bonjour,

la période est encore antérieur. Je crois que l'algèbre linéaire a été supprimé des programmes en 1987. Mais je t'assure que la définition de C qui nous était donnée, à mon époque , passait par RxR

Cordialement

Boudiou, alors ça remonte au temps de l'enseignement des maths formelles à la Bourbaki ! (pas très intuitif)

[inviteaf1870ed]

Moi j'étais en Terminale C en 1976, on faisait de l'algèbre linéaire, et je crois que mon prof avait construit C avec un isomorphisme entre C et les matrices...