Précisions sur l'implication (si) et sur le "seulement si"

[samyhaff]

Bonjour,
Récemment, j'ai essayé de feuilleter un bouquin de maths pour les élèves en MPSI.
Je suis tombé sur l'exercice suivant:

Traduisez par une proposition simples les phrases suivantes:
A/ Chris aome Hélène seulement si elle porte une robe violette
B/ Si Chris aime Hélène alors elle porte une robe violette
On note V, Hélène porte une robe violette et C, Chris aime Hélène

J'ai donc formulé les réponses suivantes:
A/ V => C
B/ C => V

Or il se trouve que la réponse attendue à la A/ est C => V
J'en désuis donc que dire 'si P alors Q" revient à dire "S seulement si Q"
Mais dans ce cas, comment expliquer les 2 choses suivantes:
1) "... équivaut à ..." revient à dire ".... si et seulement si ..."
et P <=> Q revient à écrire (P => Q) et (Q => P)
Donc le P = > Q symboliserait donc le "si" et le Q => P le "seulement si" alors pourquoi ma réponse est-elle fausse
2) en écrivant la table de vérité de Q => P je tombe sur quelque chose qui me semble être cohérant

Voilà, je sais pas si j'étais très clair mais je vous avoue que je suis un peu perdu là quand à la signification de ce '"seulement si"...
Merci d'avance pour vos réponses.
-----

[gg0]

Bonjour.

Ton interprétation initiale est correcte, puis tu as du te perdre entre "si A alors B" et "A si B" qui est "si B alors A".

Cordialement.

[PA5CAL]

Bonsoir

À moins que la logique ou la langue française aient évoluée depuis qu'on me les as enseignées, il me semble que la réponse attendue à la question A) devrait être : C ⇔ V

La phrase « la proposition C est vraie seulement si la proposition V est vraie » s'interprète comme une équivalence.

En effet, elle signifie :
- que la proposition C est vraie quand la proposition V est vraie, soit C ⇐ V ;
- et, du fait qu'on précise « seulement », que la proposition C n'est pas vraie dans les autres cas, autrement dit que la proposition C est fausse quand la proposition V est fausse, soit ¬C ⇐ ¬V.

On a donc :

(C ⇐ V) ∧ (¬C ⇐ ¬V)

soit

(C ⇐ V) ∧ (C ⇒ V)

soit encore :

C ⇔ V

[gg0]

Heu ...Pa5cal,

tu es en train de tout embrouiller. Où as-tu vu que C ⇐ V ??????
Et ta "traduction" de seulement est du n'importe quoi ... remplace "seulement si" par "uniquement quand" (*) pour comprendre ce qui est écrit.

Cordialement.

(*) Lorsque le lien logique peut s'exprimer dans le temps, on peut, pour bien saisir, remplacer "si" par "quand".

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

Où as-tu vu que C ⇐ V ??????

C'est la traduction de "C si V" ("Chris aime Hélène si elle porte une robe violette"), c'est-à-dire "si V alors C".

Et ta "traduction" de seulement est du n'importe quoi ... remplace "seulement si" par "uniquement quand" (*) pour comprendre ce qui est écrit.

Donc C est vrai uniquement quand V est vrai, autrement dit, en plus de ce qui précède, C est faux quand V est faux.

C'est précisément ce que j'ai expliqué.

[gg0]

Il n'y a pas de C si V dans la phrase !! C'est bien pourquoi on utilise la forme "si et seulement si" pour traduire une équivalence; C'est de la grammaire élémentaire que "seulement si" ne veut pas dire "si".
Évite de perturber Samyhaff.

Cordialement.

[QueNenni]

La bonne réponse à la proposition A est, après avoir lu les messages précédents :

C <=> V (ou ce revient au même V <=> C)

[gg0]

Faux !

Samyhaff avait dès le début donné la bonne réponse. Dommage que Pa5cal soit venu dire le contraire ...

Le <==> est traduit pas les logiciens par "si et seulement si"

[PA5CAL]

Pour éviter toute confusion, je reviens pour expliciter mes propos.


Les logiciens ont un point de vue particulier et un langage précis.

Par définition, et indépendamment de tout contexte littéraire :

- « si » introduit une condition suffisante mais non nécessaire, et indique une relation entre une conséquence et une cause possible (⇐);
- « seulement si » introduit une condition nécessaire mais non suffisante, et indique une relation d'implication (⇒) ;
- « si et seulement si », qui est la conjonction des relations logiques « si » et « seulement si », indique une relation d'équivalence (⇔).

Donc, parce qu'on est ici dans le cadre d'un exercice de mathématiques, la réponse à la question A est : C ⇒ V.


Ce que je commentais, c'est le fait que le langage courant et les points de vue adoptés en dehors des mathématiques peuvent être différents. Notamment :

• On n'a pas pour habitude de placer des « si et seulement si » dans les conversations, sauf quand on cherche à signifier expressément une règle de logique.

• Lorsqu'on emploie « seulement si », l'adverbe « seulement » donne un caractère exclusif à la conjonction, sans toutefois définir précisément la façon dont s'organise cette exclusion.

Or, une acceptation courante, liée à l'usage ou au contexte, consiste à éliminer le cas où la conséquence est vraie mais la condition fausse du champs des possibilités de l'énoncé non exclusif, lequel n'inclut pas le cas où la condition est vraie mais la conséquence fausse. Autrement dit, l'ajout de « seulement » apporte un caractère nécessaire à une condition qui présente déjà un caractère suffisant. Le « seulement si » est alors employé dans le sens du « si et seulement si » des logiciens.

Par exemple, la phrase « tu peux regarder la télé seulement si tu as terminé tes devoirs » exclut généralement de l'intention exprimée l'option « tu as terminé tes devoirs mais tu ne peux pas regarder la télé ». La signification recherchée va à l'encontre de la relation d'implication suggérée par le langage du logicien.

Bref, il me paraît un peu osé de donner des exercices de logique basés sur des phrases isolées en langage naturel.

[gg0]

La bonne réponse figure dans le premier message de Samyhaff, après qu'il ait donné sa mauvaise réponse.

D'accord avec la dernière phrase.