Retrancher des petits nombres de très grands nombres

[akntn]

Bonjour,

Un ordi conventionnel peut-il faire l'opération suivante (et éventuellement comparer le résultat avec d'autres nombres) :

(10^32) ^ (10^32) - 377 ?

Quelle est la limite ?

Merci.
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[pm42]

Il existe de nombreuses librairies et plein de logiciels qui travaillent en précision infinie. La limite est la mémoire disponible.
Ceci dit, l’exemple cité relèverait sans doute plus du calcul formel vu la taille du 1er nombre.

Après, il faut savoir pourquoi on a besoin de ce genre de précision. Les cas concrets existent mais ne sont pas si fréquents.

[Médiat]

+1

Néanmoins le résultat ici se calcule de tête

[gg0]

oui, avec des pointillés

[A voir en vidéo sur Futura]

[akntn]

"Néanmoins le résultat se calcule ici de tête".

Evidemment, mais pouvez-vous calculer de tête le résultat divisé par un nombre de 50 chiffres (et qui n'est pas une puissance de 10) ?

[akntn]

Il existe de nombreuses librairies et plein de logiciels qui travaillent en précision infinie. La limite est la mémoire disponible.
Ceci dit, l’exemple cité relèverait sans doute plus du calcul formel vu la taille du 1er nombre.

Après, il faut savoir pourquoi on a besoin de ce genre de précision. Les cas concrets existent mais ne sont pas si fréquents.

Merci pour l'info.

[gg0]

Bonjour Akntn.

Même si le calcul est possible, ton nombre est tellement grand qu'il ne peut s'afficher. mais tu peux aller voir sur Wolfram Alpha, qui accepte de calculer (10^32) - 377= voire 2^(10^5)-73 (je te laisse voir le résultat, le copier n'a aucun intérêt).

Cordialement.

[invite23cdddab]

Non seulement le nombre est tellement grand qu'on ne peut pas l'afficher, mais il est surtout tellement grand qu'on ne peut pas l'enregistrer en mémoire (au format binaire).

Je veux dire, l'humanité a jusqu'à maintenant produit moins de 200 zettabyte de données. Soit de l'ordre de 10^24 bits. Or pour enregistrer ton nombre au format binaire, il faut de l'ordre de 10^34 bits. Dix milliards de fois plus !

[akntn]

D'accord. Merci.

[invite046e427d]

Bonjour,

Même si le calcul est possible, ton nombre est tellement grand qu'il ne peut s'afficher.

Non seulement le nombre est tellement grand qu'on ne peut pas l'afficher, mais il est surtout tellement grand qu'on ne peut pas l'enregistrer en mémoire (au format binaire).
Je veux dire, l'humanité a jusqu'à maintenant produit moins de 200 zettabyte de données. Soit de l'ordre de 10^24 bits. Or pour enregistrer ton nombre au format binaire, il faut de l'ordre de 10^34 bits. Dix milliards de fois plus !

Tout s'explique.
Il y a peu, je voulais connaître la taille d'un très grand nombre d'opérations pour connaître le temps nécessaire à la vitesse de 10⁹ par seconde.
J'ai cru que c'était mon tableur qui déconnait.
J'ai un peu honte mais c'est moins grave que l'ignorance.

Cdt.

[invite23cdddab]

Sinon, je me suis amusé à calculer. Pour stocker (10^32)^(10^32) dans des cartes micro-sd de 128 Go, il faudrait un volume égal à la moitié de la mediterrannée. Et si on revient quelques années en arrière, et qu'on enregistre ça sur des cd-rom, ça prendrait un volume de l'ordre de celui de la lune

[roro222]

Pour stocker (10^32)^(10^32) dans des cartes micro-sd de 128 Go, il faudrait un volume égal à la moitié de la mediterrannée.

Bonjour
T'en est sur ?
J'ai cru comprendre que l'univers contenait 10^ 80 atomes
Un bit est stocké sur quelques milliards d'atomes
Même en supposant 1 atome/ bit, Comment tu veux faire pour en faire tenir (10^32000000000000000000000000 00000000)

[akntn]

Bonjour Akntn.

Même si le calcul est possible, ton nombre est tellement grand qu'il ne peut s'afficher. mais tu peux aller voir sur Wolfram Alpha, qui accepte de calculer (10^32) - 377= voire 2^(10^5)-73 (je te laisse voir le résultat, le copier n'a aucun intérêt).

Cordialement.

Bonjour ggO, quand tu dis que le calcul est possible, tu parles de calculer le nombre en question, pas de calculer AVEC ?

[gg0]

Oui, je parlais de calculer le nombre (*). Donc aussi de calculer avec.
D'ailleurs, ce qui compte est de calculer avec ce nombre, inutile de le représenter en écriture décimale. Par exemple :
((10^32) ^ (10^32) - 377)²-((10^32) ^ (10^32) + 377)²=754*(10^32) ^ (10^32)

Cordialement.

(*) sans avoir regardé de près la taille mémoire nécessaire.

[gg0]

Bonjour.

Je parlais effectivement de le "calculer", c'est à dire écrire la suite de ses chiffres en écriture décimale (*), ce qui n'a strictement aucun intérêt. Quant à calculer avec, aucun problème :
((10^32) ^ (10^32) - 377)²-((10^32) ^ (10^32) + 377)²=754*(10^32) ^ (10^32)

Cordialement.


(*) je n'avais pas regardé la taille mémoire nécessaire !

[akntn]

Bonjour.

Je parlais effectivement de le "calculer", c'est à dire écrire la suite de ses chiffres en écriture décimale (*), ce qui n'a strictement aucun intérêt. Quant à calculer avec, aucun problème :
((10^32) ^ (10^32) - 377)²-((10^32) ^ (10^32) + 377)²=754*(10^32) ^ (10^32)

Cordialement.


(*) je n'avais pas regardé la taille mémoire nécessaire !

Merci. Dans ce cas, est ce que le nombre 10^32 ^ 10^32 - 377 peut être soumis à des tests simples, comme celui d'Euclide (par ex) ?

[gg0]

Si c'est cela qui t'intéresse, il faut que tu étudies sérieusement l'arithmétique, la théorie des nombres, pour comprendre pourquoi les plus grands premiers qu'on connaît actuellement sont des nombres de Mersenne. C'est tout à fait dans la ligne de ce que je disais.

Cordialement

NB : Pourquoi copier le message précédent ? En mode répondre, ou en réponse rapide, ton message s'affiche immédiatement après le dernier message.

[akntn]

D'accord, mais tu n'as pas répondu à ma question. Je connais un peu les nombres de Mersenne, mais mon problème est différent. Est-ce que ce nombre (10^32 ^ 10^32 - 377) peut être testé, par ex, avec l'algo d'Euclide ? Oui ou non ? Est-ce qu'il est trop grand pour ça ?

[gg0]

Heu ... l'algorithme d'Euclide sert à trouver le pgcd de deux entiers. mais en tout cas, aucun algorithme de primalité connu ne peut s'attaquer à un nombre quelconque de cette taille, faute de pouvoir le manipuler utilement. Sauf s'il est divisible par de petits nombres. le tien n'est pas divisible par 3, pas par 5, ni par 11 (facile), savoir s'il est divisible par 7 est déjà plus compliqué, ce n'est pas le cas si j'ai bien calculé. On peut continuer à tester les premiers successifs jusqu'à la racine carrée de ton nombre, soit environ (10^32) ^ (5x10^31) qui a presque autant de chiffres que (10^32) ^ (10^32) - 377, exactement 160000000000000000000000000000 0001 chiffres.

A ton avis, si le record, obtenu avec des nombres de Mersenne, a beaucoup moins de chiffres que ça (12 978 189 chiffres, actuellement), est-ce une insuffisance des mathématiciens ? Essaie déjà d'écrire un nombre qui a 12 978 189 chiffres dont tu sois sûr qu'il n'est divisible ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11 (autre que celui dont je parle, 2^77 232 917 − 1).

Comme on peut trouver tout ça sur des bouquins ou des pdf d'Internet, si c'est seulement de la curiosité, renseigne-toi sur ce qui est très connu.

Cordialement.


(10^32) ^ (10^32) - 377

[akntn]

Donc on ne peut pas calculer avec, c'était juste pour confirmation (c'est bête, mais on ne sait jamais, je ne suis pas informaticien). Je sais que l'algo d'Euclide sert à calculer le pgdc de deux entiers, merci. Je ne parlais pas de test de primalité. Cela dit, j'ai déjà utilisé l'algo d'Euclide pour trouver tous les nombres premiers (en multipliant entre eux les premiers inférieurs à la racine de N) jusqu'à 10 ^ 15. C'est un excellent crible, qui gagnerait peut être à être connu, je ne sais (bien que les mathématiciens ne s'intéressent plus trop actuellement aux "petits" nombres premiers).
Merci à toi et cordialement.

[gg0]

Oui, ta méthode est connue; elle est d'ailleurs utilisée par les logiciels formels pour tester la primalité des entiers (comme première étape, si le pgcd est 1, ils utilisent d'autres méthodes). Par contre, pour un produit de 2 ou 3 entiers premiers de 20 à 30 chiffres, le pgcd ne donne rien.

Cordialement.

NB : pas besoin d'être informaticien pour avoir une idée de la taille de ton nombre (32x10^32 chiffres, 320000000000000000000000000000 0000 chiffres), c'est à la portée d'un collégien.

[akntn]

Pour la taille, je savais, mais comme tu avais parlé de pouvoir "calculer avec"...

[invite23cdddab]

Même en supposant 1 atome/ bit, Comment tu veux faire pour en faire tenir (10^32000000000000000000000000 00000000)

Tu n'as besoin que de 10^35 bits pour stocker (10^32)^(10^32), pas de (10^32)^(10^32) bits...

[invite046e427d]

Sinon, je me suis amusé à calculer. Pour stocker (10^32)^(10^32) dans des cartes micro-sd de 128 Go, il faudrait un volume égal à la moitié de la mediterrannée. Et si on revient quelques années en arrière, et qu'on enregistre ça sur des cd-rom, ça prendrait un volume de l'ordre de celui de la lune

Les nombres démesurément grands c'est vraiment un "truc" de ding. Les stocker c'est à couper le souffle et je n'ose même pas imaginer quant à les parcourir.