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Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands



  1. #1
    FibreTigre

    Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands


    ------

    Hello,

    J'ai lu que l'écart moyen entre deux nombres premiers successifs voisins d'un entier x est de ln(x).

    J'ai lu aussi qu'il existe une infinité de premiers qui sont distants d'une fraction de ln(x).

    Cependant, à l'infini, nul n'est tenu, n'est-ce pas ?

    J'aurais besoin de savoir, pour la rédaction d'une nouvelle traitant des nombres premiers, s'il était possible théoriquement, même si très peu probable, qu'il n'existe aucun nombre premier entre deux entiers très grands, par exemple entre 10 puissance un million et 10 puissance un million de million, hormis les triviaux du type n!+1.

    Merci de vos réponses.

    FT

    -----
    Dernière modification par FibreTigre ; 27/05/2013 à 14h21.

  2. Publicité
  3. #2
    Tryss

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Déjà il y a toujours, quelque soit n > 1, un nombre premier entre n et 2n, ça limite donc fortement la taille des "trous".

  4. #3
    FibreTigre

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Merci Triss pour ta réponse.

    Ce nombre situé entre n et 2n est-il trivial (par exemple n! +1 ou nombre de Mersenne) ou s'agit-il d'un autre nombre qu'il faut chercher avec d'autres techniques, ou on ne sait pas ?

  5. #4
    toothpick-charlie

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    il y a aussi ce théorème : il existe un entier k et une infinité de paires de nombres premiers (p,q) tels que q=p+k : les intervalles entre nombres premiers tendent à devenir de plus en plus grands mais de temps en temps on tombe sur un petit intervalle.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tryss

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Ce nombre situé entre n et 2n est-il trivial (par exemple n! +1 ou nombre de Mersenne) ou s'agit-il d'un autre nombre qu'il faut chercher avec d'autres techniques, ou on ne sait pas ?
    On ne sait pas, on sait juste qu'il y en a au moins un.

    Et n!+1 n'est pas forcément un nombre premier: 4!+1 = 25 n'est pas premier, 5!+1 = 121 n'est pas premier, 6!+1 = 721 n'est pas premier... de même, relativement peu de nombres de Mersenne sont premiers.

    Il y a 48 nombres premiers de Mersenne pour un exposant p inférieur à 58.000.000, alors qu'il y a plus de 3 millions de nombres premiers inférieurs à 58.000.000 (donc de nombres de Mersenne candidats)


    Les nombres premiers de Mersenne, c'est surtout "pratique" pour trouver des grands nombres premiers

  8. #6
    Seirios

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Bonjour,

    On a également le résultat suivant : Soit un entier. Alors il existe un intervalle de longueur ne contenant aucun nombre premier.

    La démonstration est en fait élémentaire, il suffit de considérer la suite d'entiers , , ..., .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. Publicité
  10. #7
    toothpick-charlie

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Et n!+1 n'est pas forcément un nombre premier: 4!+1 = 25 n'est pas premier, 5!+1 = 121 n'est pas premier, 6!+1 = 721 n'est pas premier...
    ah tiens, parmi les nombres de la forme n!+1, y a-t-il une infinité de nombres premiers? de nombres composés? des deux sortes?

  11. #8
    Suite2

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Je conseil souvent les articles de ce site. http://images.math.cnrs.fr/Nombres-p...gressions.html

    Je n'arrive pas à me rappeler de l'auteur d'un texte très simple d'accès et qui énonce beaucoup. En revanche j'en ai le titre : "Raréfaction des nombres premiers" ou quelquechose comme cela. Il y était détaillé des informations philosophiques. Quelques concepts adaptés aux idées de raréfaction et de "trous" ont été introduits. Dès que je remet la main sur ce document je le met en lien.

  12. #9
    FibreTigre

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Bonjour,

    Merci de vos réponses. Je vous informe que j'ai terminé ma nouvelle de maths-fiction qui s'intitule "Nombres Premiers SAS":

    http://fibretigre.com/primes/index.php

    J'espère que tout ne vous fera pas bondir, le propre de la fiction étant justement de faire rêver.

    Notamment, je pose l'hypothèse (fantaisiste) qu'à partir de 10 puissance 479, il y a une raréfaction brutale des nombres premiers (ce qui a une incidence sur les transactions sécurisées)

    Pour ceux qui liront, j'espère que cela vous plaira.

    FT

  13. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Distance entre deux nombres premiers pour des nombres très grands

    Bonsoir.

    J'ai lu rapidement (écran oblige). Pour moi, ça vaut pas mal de nouvelles de science fiction comme on en faisait dans les années 1950-60 autour des ordinateurs. Je n'ai pas repéré de défaut majeur au point de vue mathématique (on doit pouvoir chipoter, mais ce n'est pas écrit pour des spécialistes de l'arithmétique).

    Bravo !

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