Nombre rationnel : fraction de deux nombres premiers entre eux !

[ichigo01]

Salut à tous !

Je sais qu'un nombre rationnel x est définie par où p et q sont des entiers relatifs , est ce que p et q sont nécessairement premiers entre eux ?

( Je pose cette question car parfois quand on veut démontrer qu'un nombre x est irrationnel , on suppose que avec tel que p et q sont premiers entre eux , pour trouvé à la fin un diviseur commun de p et q ce qui est contradictoire à la supposition .. )
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[God's Breath]

Lorsqu'un rationnel est écrit sous la forme , il n'y a aucune raison que p et q soient premiers entre eux, et il est parfaitement légitime, et parfois absolument nécessaire, d'écrire le rationnel .
Mais l'écriture fractionnaire d'un rationnel n'est pas unique, et il existe toujours une écriture avec p et q premiers entre eux, et il est parfois nécessaire de l'utiliser.
Il faut faire la distinction entre un nombre rationnel x, et ses divers écritures sous forme de fraction .

[ichigo01]

Donc , nôtre démonstration par absurde fond sur un contre exemple !

Cordialement !

[God's Breath]

Quel contre-exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Quel contre-exemple ?

Qu'un nombre rationnel sous forme d'une fraction de deux entiers premiers entre ( qui est un cas particulier ) ne vérifie pas nôtre propriété !

[Médiat]

Je ne vois pas bien où vous voulez en venir, 6/8 et 3/4 sont deux représentations du même nombre, donc toute propriété du nombre 6/8 est aussi une propriété du nombre 3/4 et vice-versa ; tout ce que vous démontrerez pour 3/4 sera vrai pour 6/8, puisque c'est le même nombre, mais la démonstration pourra utiliser la coprimalité du numérateur et du dénominateur, chose toujours possible à partir de n'importe quel représentant, mais au prix d'une étape supplémentaire.

[ichigo01]

Je ne vois pas bien où vous voulez en venir, 6/8 et 3/4 sont deux représentations du même nombre, donc toute propriété du nombre 6/8 est aussi une propriété du nombre 3/4 et vice-versa ; tout ce que vous démontrerez pour 3/4 sera vrai pour 6/8, puisque c'est le même nombre,

La seule propriété qui n'est pas vérifiée pour les deux nombre c'est que 3 et 4 sont premiers entre eux alors que 6 et 8 ne le sont pas !

Si on a 17/33 c'est la fraction de deux nombres premiers entre eux mais si on multiplie par 2 il ne le sera pas c'est évident !! mais bien sur 17 et 33 reste deux nombres premiers entre eux !

, avoir un nombre rationnel comme fraction de deux nombre premiers c'est un cas possible !

[Thorin]

Je crains que ce que tu veux dire, c'est que les démos par l'absurde, où on termine en concluant par "donc le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, donc on a une absurdité, donc..." ne sont pas valides ? est-ce ça ?

[ichigo01]

Je crains que ce que tu veux dire, c'est que les démos par l'absurde, où on termine en concluant par "donc le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, donc on a une absurdité, donc..." ne sont pas valides ? est-ce ça ?

Non c'est le contraire , la où on trouve qu'ils ont un diviseur commun donc c'est absurde car au début on les a bien considéré premiers entre eux !

Je peux vous donnez un exemple !

[Thorin]

oui, je voulais dire "donc le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun, donc on a une absurdité, donc..."


En tout cas, si tu penses que ce genre de démonstrations ne marche pas (comme celle de l'irrationalité de racine de 2, par exemple), ôte toi cette idée de la tête.

Voici le plan d'un raisonnement tout à fait valide, pour montrer l'irrationalité d'un nombre a.

"supposons qu'il existe p et q premiers entre eux tels que a=p/q.
On montre par un certain raisonnement que p et q possèdent un diviseur commun.
Alors, ça contredit notre hypothèse, et donc a est irrationnel"

Je crains que tu ne confondes les propriétés du nombre rationnel p/q, qui est certes égal à (2p)/(2q), et les propriétés des 2 nombres p et q.
Si l'on raisonne sur le couple (p,q), fixé, il est hors de question de le changer en (2p,2q) et dire que tout reste pareil.

[Universus]

Dans une démonstration, on pourrait tout aussi bien dire ''soit r un rationnel et a et b deux entiers tels que r = a/b. Débutons par éliminer les facteurs communs de a et b de telle sorte qu'on ait a = pgcd(a,b)*p et b = pgcd(a,b)*q. On a donc r = p/q et par construction p et q sont relativement premiers. Maintenant, faisons la démarche en partant avec l'hypothèse (portant sur r) que... Déductions logiques... Étrange. Notre démarche indique que p et q ont un facteur commun, ce qui est impossible par construction de p et q. Donc, l'hypothèse ayant débuté notre démarche doit être fausse, puisque toute autre étape du raisonnement est une conséquence logique de ce qui a été établi ou supposé précédemment.''

Croissement avec Thorin

[ichigo01]

oui, je voulais dire "donc le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun, donc on a une absurdité, donc..."


En tout cas, si tu penses que ce genre de démonstrations ne marche pas (comme celle de l'irrationalité de racine de 2, par exemple), ôte toi cette idée de la tête.

Voici le plan d'un raisonnement tout à fait valide, pour montrer l'irrationalité d'un nombre a.

"supposons qu'il existe p et q premiers entre eux tels que a=p/q.
On montre par un certain raisonnement que p et q possèdent un diviseur commun.
Alors, ça contredit notre hypothèse, et donc a est irrationnel"

Je crains que tu ne confondes les propriétés du nombre rationnel p/q, qui est certes égal à (2p)/(2q), et les propriétés des 2 nombres p et q.
Si l'on raisonne sur le couple (p,q), fixé, il est hors de question de le changer en (2p,2q) et dire que tout reste pareil.

Je suis tout à fait d'accord avec toi pour le truc que ça reste pareil c'est pas moi qui l'ai dit !!

[ichigo01]

Débutons par éliminer les facteurs communs de a et b de telle sorte qu'on ait a = pgcd(a,b)*p et b = pgcd(a,b)*q. On a donc r = p/q et par construction p et q sont relativement premiers. .''

Croissement avec Thorin

C'est tout à fait l'ingrédient qui manquait à la recette !

[ichigo01]

Pour montrer que n'admet pas de solution dans

On suppose avec et que ( on l'a par construction de p et q )
ça donne : donc ce qui implique que 2 divise et par congruence on peut montrer que 2 divise donc
Alors tel que par conséquent c'est à dire : ce qui implique que 2 divise q^3 et de même 2 divise q ,
On a trouvé que 2 est un diviseur commun de p et q , ce qui est en contradiction avec nôtre supposition !

[ichigo01]

à :

Si l'on raisonne sur le couple (p,q), fixé, il est hors de question de le changer en (2p,2q) et dire que tout reste pareil.

Je pense que c'est le suspect ! :

Je ne vois pas bien où vous voulez en venir, 6/8 et 3/4 sont deux représentations du même nombre, donc toute propriété du nombre 6/8 est aussi une propriété du nombre 3/4 et vice-versa ; tout ce que vous démontrerez pour 3/4 sera vrai pour 6/8, puisque c'est le même nombre, mais la démonstration pourra utiliser la coprimalité du numérateur et du dénominateur, chose toujours possible à partir de n'importe quel représentant, mais au prix d'une étape supplémentaire.

[God's Breath]

Je pense que c'est le suspect !

Je ne vois rien de suspect dans le texte de Médiat.

[ichigo01]

Je ne vois rien de suspect dans le texte de Médiat.

Par rapport au message de Thorin !

[God's Breath]

Thorin et Médiat disent tous deux la même chose :

– les fractions et sont UN SEUL ET MÊME RATIONNEL, et ont donc les mêmes propriétés, celles de ce rationnel qu'elles représentent ;
– les couples et sont distincts, ont des propriétés communes (exemple : ils sont constitués de deux entiers), mais il y a certaines propriétés qu'ils ne partagent pas (exemple : la parité des entiers dont ils sont constitués).

[ichigo01]

mais il y a certaines propriétés qu'ils ne partagent pas

C'est ce que je disais depuis le début !

[Médiat]

la démonstration pourra utiliser la coprimalité du numérateur et du dénominateur, chose toujours possible à partir de n'importe quel représentant, mais au prix d'une étape supplémentaire.

Dans une démonstration, on pourrait tout aussi bien dire ''soit r un rationnel et a et b deux entiers tels que r = a/b. Débutons par éliminer les facteurs communs de a et b de telle sorte qu'on ait a = pgcd(a,b)*p et b = pgcd(a,b)*q. On a donc r = p/q et par construction p et q sont relativement premiers.

Je pense que c'est le suspect ! :

Pour ichigo01 : le texte de Universus donne concrètement l'étape que j'avais évoqué (en gras ci-dessus)
Donc, rien de suspect dans mon texte, ni dans celui de Thorin (je suis d'accord avec God's Breath )

[Médiat]

C'est ce que je disais depuis le début !

Que les couples ne partagent pas !

Mais tout ce qui est dit sur le rationnel à partir de l'un de ses représentants est dit pour le rationnel et pas pour le couple, et pourrait être dit à partir d'un autre représentant !

[ichigo01]

Je ne vois pas bien où vous voulez en venir, 6/8 et 3/4 sont deux représentations du même nombre, donc toute propriété du nombre 6/8 est aussi une propriété du nombre 3/4 et vice-versa ; tout ce que vous démontrerez pour 3/4 sera vrai pour 6/8, puisque c'est le même nombre, mais la démonstration pourra utiliser la coprimalité du numérateur et du dénominateur, chose toujours possible à partir de n'importe quel représentant, mais au prix d'une étape supplémentaire.

Je voulais juste dire qu'ils existent quelques propriétés qui ne sont pas commun par exemple entre 6/8 et 3/4 !

En tout cas, si tu penses que ce genre de démonstrations ne marche pas (comme celle de l'irrationalité de racine de 2, par exemple), ôte toi cette idée de la tête.

Je crains que tu ne confondes les propriétés du nombre rationnel p/q, qui est certes égal à (2p)/(2q), et les propriétés des 2 nombres p et q.
Si l'on raisonne sur le couple (p,q), fixé, il est hors de question de le changer en (2p,2q) et dire que tout reste pareil.

– les fractions et sont UN SEUL ET MÊME RATIONNEL, et ont donc les mêmes propriétés, celles de ce rationnel qu'elles représentent ;
– les couples et sont distincts, ont des propriétés communes (exemple : ils sont constitués de deux entiers), mais il y a certaines propriétés qu'ils ne partagent pas (exemple : la parité des entiers dont ils sont constitués).

J'ai rien dit de contraire !! Je suis tout à fait d'accord avec vous messieurs !

[God's Breath]

Je sais qu'un nombre rationnel x est définie par où p et q sont des entiers relatifs

Je pense que tout ton problème vient de ce qu'un nombre rationnel n'est pas défini ainsi.

Un nombre rationnel n'est pas défini par une fraction, mais par l'ensemble de toutes les fractions qui servent à le représenter.

[God's Breath]

Je voulais juste dire qu'ils existent quelques propriétés qui ne sont pas commun par exemple entre 6/8 et 3/4 !

Je voudrais bien voir une propriété que 6/8 et 3/4 n'ont pas en commun.

Si tu es capable de nous en expliciter une, simple, tordue, facile à démontrer, ou totalement incompréhensible, peu importe, tu auras prouvé que , donc que les mathématiques sont inconsistantes et tous les mathématiciens pourront remballer tous leurs résultats devenus inutiles.

[ichigo01]

Que les couples ne partagent pas !

Mais tout ce qui est dit sur le rationnel à partir de l'un de ses représentants est dit pour le rationnel et pas pour le couple, et pourrait être dit à partir d'un autre représentant !

Je pense que tout ton problème vient de ce qu'un nombre rationnel n'est pas défini ainsi.

Un nombre rationnel n'est pas défini par une fraction, mais par l'ensemble de toutes les fractions qui servent à le représenter.

Mais p et q on les a obtenue par construction car tout nombre sous forme d'une fraction de deux nombres peut se simplifier , en divisant chacun par le PGCD !!

[ichigo01]

Pour montrer que n'admet pas de solution dans

On suppose avec et que ( on l'a par construction de p et q )
ça donne : donc ce qui implique que 2 divise et par congruence on peut montrer que 2 divise donc
Alors tel que par conséquent c'est à dire : ce qui implique que 2 divise q^3 et de même 2 divise q ,
On a trouvé que 2 est un diviseur commun de p et q , ce qui est en contradiction avec nôtre supposition !

Je ne sais pas si vous avez fait attention à ce message , mais voilà la démonstration dont je parlai au début .

[Médiat]

Je voulais juste dire qu'ils existent quelques propriétés qui ne sont pas commun par exemple entre 6/8 et 3/4 !

Ceci est faux, et ni Thorin ni God's Breath n'ont dit cela.
ce que l'on pourrait dire est qu'ils existent quelques propriétés qui ne sont pas communes par exemple entre (6, 8) et (3, 4) ; ce qui est normal puisque (6, 8) != (3, 4), alors que 6/8 = 3/4 (ce qui pourrait se noter autrement : Classe((6, 8)) = Classe((3, 4))), par définition de l'égalité 6/8 et 3/4 ont les mêmes propriétés !

[Médiat]

Je ne sais pas si vous avez fait attention à ce message , mais voilà la démonstration dont je parlai au début .

Avec l'étape supplémentaire dont j'ai parlé et qu'Universus a explicitée, on peut faire la même démonstration pour tous les couples d'entiers représentant le même rationnel ! ,La conclusion porte sur le rationnel, pas sur le couple.

[God's Breath]

Je voulais juste dire qu'ils existent quelques propriétés qui ne sont pas commun par exemple entre 6/8 et 3/4 !

[...]

Je suis tout à fait d'accord avec vous messieurs !

C'est curieux parce que nous affirmons tous que 6/8 et 3/4 ont toutes leurs propriétés en commun.

[ichigo01]

C'est curieux parce que nous affirmons tous que 6/8 et 3/4 ont toutes leurs propriétés en commun.

Et la parité ce n'est pas un propriété et aussi " premiers entre eux ou pas " !! ( je confond les choses ça c'est sur )