Probabilité que 2 événements arrivent en même temps

[roboq]

Bonjour, j'aimerais connaitre la probabilité que 2 événements arrivent en même temps.

Question 1 :

Je m'explique, supposons que nous ayons 2 émetteurs et un récepteur. Chaque émetteur transmettant toutes les 30 secondes un message qui dure 13 millisecondes.

Quel serait donc la probabilité que 2 messages arrivent pile en même temps au niveau du récepteur ?

Question 2 :

En fait, si un message provenant d'un émetteur arrive (entièrement ou en partie) en même temps que celui de l'autre émetteur, les données que reçoit réellement le récepteur sont corrompues. Dans ces conditions, quel serait la probabilité pour que les données reçue par le récepteur soient corrompues ?
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[gg0]

Bonjour.

Ton problème est assez mal posé car le "en même temps" a plusieurs significations. Je vais supposer qu'il ne s'agit pas de "débutent au même instant", mais "il existe un moment pendant lequel les données arrivent à la fois des deux émetteurs".
D'autre part, si les émetteurs émettent exactement toutes les 30 s, soit c'est le cas à chaque fois, soit jamais; Je pense donc que tu sous-entends que l'émission est irrégulière, aléatoire, et de période moyenne 30s. Si ce n'est pas le cas, il n'y a rien d'aléatoire, donc pas de probabilité.
Ceci posé, le problème est assez difficile, même si on connaît la loi de la variable aléatoire Tn =" date de début du n-ième signal" pour chaque émetteur. On peut cependant le modéliser comme suit :
On prend une période moyenne de 30 s, pendant laquelle on suppose que chacun des émetteur ne produit qu’un seul signal (de 13 ms). On modélise l'absence de connaissance de la loi de répartition des émissions dans le temps en prenant une loi uniforme sur [0;30] pour la date de réception du signal de chaque émetteur; on a donc deux variables X (premier émetteur) et Y (deuxième émetteur) uniformes sur [0;30], indépendantes (à priori). Il y aura coïncidence des signaux si la distance (plus exactement la durée) entre les valeurs de X et de Y est inférieure à 0,013, soit |X-Y|<0,013, ou encore X-0,013<Y<X+0,013.
Plaçons nous dans un plan muni d'un repère orthonormé et considérons le carré de côté 30, basé sur les axes (donc un sommet est O, le sommet diagonalement opposé a pour coordonnées (30,30). La loi de (X,Y) est la loi uniforme sur ce carré, et la bande définie par X-0,013<Y<X+0,013 définit l'événement "coïncidence". On trouve, en appliquant les règles habituelles que la proba est le quotient de l'aire de la bande (partie située dans le carré) par l'aire du carré.

Cordialement.

Rappel : Il s'agit d'une modélisation, donc des situations réelles peuvent être très différentes.

[roboq]

Merci.

Je confirme, tu as très bien compris le problème, même ce que j'avais oublié de préciser...

[Amanuensis]

Si on considère que l'émetteur A occupe la bande 0.013/30 du temps, et une émission de B démarrée à un instant indépendant des émissions de A, alors la probabilité de corruption est la probabilité que le début du créneau de B soit à un instant occupé plus la probabilité que la fin soit à un instant occupé (le cas des deux à la fois est de proba nulle, les créneaux étant de même taille), soit 2 x 0.013/30.

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

la modélisation proposée par gg0 est correcte mais il est plus classique de supposer que l'arrivée des événements suit un processus de Poisson, et donc que le temps séparant deux événements suit une loi exponentielle. Dans ce cas, le problème a été complètement traité, voir par exemple le livre de Feller.