probabilité coexistance de deux évènements

[invite4461ba24]

Bonjour,

j'ai un petit soucis à propos d'un problème de probabilité.
En fait la situation est simple: une personne A peut se trouver ds un supermarché une heure sur 8 (1/8). Une autre personne B peut se trouver dans le même supermarché 2 heures sur 8 (2/8).
je voudrais calculer la probabilité de la présence de ces deux personnes en même temps dans le supermarché. D'après l'angle par lequel j'ai vu le problème, il s'agirait de deux variables aléatoires indépendantes qui peuvent chacune prendre deux valeurs: probabilité de présence (P) et probabilité de non présence (NP) dans le supermarché. Pour la 1ere personne: P1=1/8 et NP1=7/8, et pour la deuxième personne P2=2/8 et NP2=6/8.
Le truc c'est que si je considère que les deux variables sont indépendante, et que ce que je cherche est l'intersection entre les états "présence en supermarché" des deux personnes, j'obtiens un chiffre qui n'est pas très raisonnable: 1/8 * 2/8= 3.125% de chances que les deux types soient en même temps au supermarché, c'est peu je trouve...
Ai je raison ou ai je regardé le problème d'un mauvais angle dès le départ?

Merci pour votre aide
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[invite986312212]

message annulé

[invite4461ba24]

en fait le "supermarché" n'est qu'une simplification, j'ai utilisé ça au lieu de parler d'ouverture et fermeture de vannes en même temps, c'est ça le contexte réel de la situation... ça revient au même mais en l'illustration du problème que j'ai présentée est plus claire.
s'il vous plait est ce que quelqu'un pourrait me donner son point de vue ?

[invite8bc5b16d]

Salut,


perso je vois deux manières de faire qui amène au même résultat, mais l'une est plus facile à interpréter que l'autre...

1ere méthode (facile à interpréter) :
on dénombre les possibilités :
Au total : sur la journée de 8h, B a 8*7/2 manière de répartir ses 2h de présence. A en a 8 manières. En tout, on a donc 8*7*8/2 possibilités.
Les cas où A et B se rencontre : B a toujours 8*7/2 possibilités de répartir ses heures, mais A n'en a plus que 2 pour tomber en même temps que B, soit 8*7*2/2 possibilités...
Bilan : la proba que A et B se rencontrent est (8*7*2/2)/(8*7*8/2) = 1/4 = 25%


2eme méthode :
on travaille en proba (comme tu as commencé)
A une heure donnée, A a 1/8 de chance d'être dans le magasin, B 2/8. La proba qu'ils y soient tous les deux est de 1/8*2/8 = 2/64 = 1/32.
Maintenant la journée fait 6 heures, et il faut donc recommencer le raisonnement pour chaque heure de la journée, donc 8 fois.
Au total, la proba que A et B se rencontrent est de 1/32 * 8 = 1/4 = 25%


Pourquoi je préfère la première version ? en fait le fait de travailler en proba fait qu'avec une probabilité non nulle, A (et B) peut passer les 8h d'affilé dans le magasin...
en fait, le raisonnement 1 est plus intuitif dans le sens où il modélise une journée donnée, alors que le raisonnement 2 modélise une durée très longue (par exemple 1an), où à chaque heure A est dans le magasin avec une proba 1/8 et B 2/8. Dans ce cas, en moyenne, A et B se rencontreront 1 jour sur 4, mais pourront se rencontrer plusieurs fois dans le même jour (ce qui n'est pas possible dans le cas 1)




PS : si B doit être présent 2h d'affilé dans le magasin, le résultat change

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

je verrais les choses comme ceci :

(je suppose que la personne B ne se trouve pas forcément deux heures consécutives dans le magasin)

Soit l'heure choisie par la personne A,
Soit une des deux heures choisies par B,
Soit l'autre heure choisie par B.

Avec :

et si et sinon.

On cherche (événements dont l'intersection est vide).

Puis : et .

[invite4461ba24]

merci beaucoup Alien49 pour ton aide.
mais je voudrais préciser que la présence dans le magasin n'est pas par heure totale. Par exemple chacune des deux personnes peuvent passer par exemple une demi heure puis 15min... Dans ce cas je ne pense pas que le dénombrement soit efficace. qu'est ce que tu en penses?
et puis j'aimerais te demander pourquoi tu es passé directement à 6h dans le deuxième cas?

[inviteaeeb6d8b]

Dans ce cas, le problème se complique.

Peux-tu supposer qu'il y a une durée minimale passée dans le magasin ? (par exemple 10 minutes)

Si oui, tu peux t'en sortir comme si dessus :

la première dizaine de minutes passées dans le magasin,
une autre dizaine de minutes passées dans le magasin,
... jusqu'à

De même pour le personnage B.

Puis tu peux exprimer les lois conditionnelles...

[invite8bc5b16d]

et puis j'aimerais te demander pourquoi tu es passé directement à 6h dans le deuxième cas?

erreur de frappe je voulais dire 8


sinon dans le cas continu c'est vrai que c'est un peu plus difficile...là j'ai pas le temps mais j'y réfléchis dès que je peux (et si c'est utile car si il y a une durée minimale comme le propose romain-des-bois alors le raisonnement fonctionne toujours )

[invite4461ba24]

c'est vrai que ça devient compliqué si on divise encore le temps. Donc on suppose que la période minimale c'est en heures, et que B doit passer ses deux heures consécutives au supermarché.
@Romain: puisque dans ces nouvelles conditions les deux heures de B seraient consécutive, on devrait avoir l=k+1. Mais le hic c'est que le but c'est d'appliquer ça dans un autre contexte où les heures comptent en centaines pour la période d'une dizaine d'année. Donc ça serait pénible voir impossible de faire le suivi avec cette méthode.
ce que je n'ai pas compris dans la méthode 1 de Alien, c'est pourquoi en tout on a 8*7*8/2 possibilités, et pourquoi "B a toujours 8*7/2 possibilités de répartir ses heures, mais A n'en a plus que 2 pour tomber en même temps que B, soit 8*7*2/2 possibilités" ?

[invite8bc5b16d]

c'est vrai que ça devient compliqué si on divise encore le temps. Donc on suppose que la période minimale c'est en heures, et que B doit passer ses deux heures consécutives au supermarché.
@Romain: puisque dans ces nouvelles conditions les deux heures de B seraient consécutive, on devrait avoir l=k+1. Mais le hic c'est que le but c'est d'appliquer ça dans un autre contexte où les heures comptent en centaines pour la période d'une dizaine d'année. Donc ça serait pénible voir impossible de faire le suivi avec cette méthode.
ce que je n'ai pas compris dans la méthode 1 de Alien, c'est pourquoi en tout on a 8*7*8/2 possibilités, et pourquoi "B a toujours 8*7/2 possibilités de répartir ses heures, mais A n'en a plus que 2 pour tomber en même temps que B, soit 8*7*2/2 possibilités" ?

pour ma méthode 1, le nombre total de possibilités est égal à nb de possibilité pour A * nombre de possibilités pour B. A doit mettre 1heure parmi 8, il a donc 8 possibilités. B doit mettre 2 heures parmi huit, il a donc C(8,2) = 8*7/2 possibilités. Soit au total (8*7/2) * 8.
Pour tomber ensembles, il faut que A mette son heure sur une de B, il a donc 2 possibilités.
(on peut aussi voir ca sous l'angle B doit mettre une de ses heures sur celle de A : A a 8 possibilités, B est obligé de mettre 1h en même temps, et il lui reste donc 7 possibilités pour sa deuxième heure, soit 8*1*7 possibilités)



Repassons au cas continu :
on va quand même supposer que A et B sont toujours présents pour une période de mesure non nulle dans le magasin quand ils y sont (parce que sinon mathématiquement il est possible de construire pas mal d'extraterrestres comme le tipi de cantor qui pourraient amener pas mal de soucis assez inutiles...) donc en gros intuitivement, on s'impose une certaine "continuité par morceaux" de la présence de A et B dans le magasin...

le problème revient maintenant à placer sur le segment [0,8] un ensemble de "traits" de longueur totale 1 mis bout à bout pour A et de longueur 2 pour B, et de regarder quelle est la probabilité que 2 traits se recouvrent au moins partiellement.
Pour chaque élément infinitésimal "dx" du segment [0,8], A place un trait avec la proba 1/8, B avec la proba 2/8 (ainsi en moyenne, A va remplir 1/8 du segment [0,8], et B 2/8). La proba que tous les 2 placent un trait au même endroit est 1/8*2/8 = 1/32. La proba que tous les deux placent au moins une fois un trait au même endroit est égale à la somme sur tous ces petits éléments infinitésimaux "dx" de la proba 1/32, ce qui se traduit par : : bilan : la proba ne change pas en passant au continu, elle est toujours de 25%

Comment l'interpréter (ca permet de vérifier la cohérence au passage ) :
on a imposé aux différents traits d'avoir une longueur non nulle (en gros pour caricaturer A ne peut pas dire : je suis présent dans le magasin le mercredi à 14h32, 23 secondes et 56 centièmes exactement, mais pas avant ni après). Sans être encore au continu, on peut alors noter d la plus petite longueur possible d'un trait (d est donc non nul, par exemple 1 minute). Il y a donc 8/d emplacements possibles (avec d assez petit on néglige se qui se passe aux bords et on dit que c'est un entier). On peut faire le même raisonnement que ci-dessus, A est présent sur 1/8 des emplacements, soit 1/d emplacements et B présent sur 2/d emplacements. On peut donc alors dénombrer :
Nombre de possibilités total : A a C(8/d,1/d) et B a C(8/d,2/d).
Nombre de possibilités "rencontre" : B a C(8/d,2/d), et A doit avoir au moins un emplacement en commun : pour cet emplacement, il y a 2/d possibilités, et pour les autres C((8/d)-1,(1/d)-1) (le -1 étant celui déjà placé).
Je passe le calcul (qui consiste simplement à écrire les C(n,k) par n!/(k!(n-k)!) et à simplifier), on trouve 2/d*((1/d)/(8/d)) = 2/8 = 1/4. Ainsi, pour toute longueur minimale d, on trouve 25%. Passer au continu, c'est faire tendre d vers 0, du coup on ne peut plus dénombrer, et on est obligé de passer par les probas et des fonctions de densité 1/8 et 2/8 (qui au passage nous "lissent" les problèmes type tipi de cantor et compagnie...)

[invite4461ba24]

merci encore Alien.
bien que ta solution semble raisonnable, mais aparament jen ne peux pas l'appliquer dans ma situation. Il semblert que j'ai beaucoup simplifié les choses...
En fait les hypothèses exactes sont les suivantes: un évènement A a lieu 2h/an, un évènements B 3h/an, et un évènement C qui dure 4h/an. Et on suppose que ceci est en chaine pour chaque année. Les pièces jointes illustrent les possibilités de répartition de deux évènements A et B de durées respectives 2h et 3h sur la période de 8h (c'est juste pour montrer de quoi il s'agit et éclaircir la situation).
J'ai essayé de trouver quelque chose d'empirique, mais c'était quasi impossible !! Aurait tu une idée sur la manière avec laquelle on peut résoudre ça?

[invite8bc5b16d]

en fait je ne suis pas très sûr de comprendre exactement de quoi il s'agit, entre ton explication et le dessin :
- est-ce que chaque année tu as exactement 2h pour l'évènement A, 3h pour B et 4h pour C ?
- est-ce que ces trois évènements peuvent se découper en plusieurs périodes sur l'année (si oui, y a-t-il une durée minimale), ou apparaissent-ils chacun en un seul bloc ?
- est-ce que A, B et C ne peuvent apparaître que pendant 8h de la journée ou 24h/24 ?