Digression sur le transport de structure

**Anonyme007** · 26/09/2018, 21h01

Fil séparé de https://forums.futura-sciences.com/m...-math-ens.html pour éviter les digressions qui n'ont rien à voir avec le sujet initial.

Bonsoir,

Envoyé par Seirios

Cela dit, je ne vois toujours pas très bien ce qui se cache derrière "transport de structures".

Je vous donne l'exemple suivant très célèbre en géométrie algébrique pour saisir ce qu'on entend par le vocable : transport :

Soit $\text{[math]}$ une courbe cubique projective et lisse ( Une courbe elliptique par exemple ), et $\text{[math]}$ .
Alors, il existe une bijection : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ .

Or :

- $\text{[math]}$ dispose d'une structure de variété.

- $\text{[math]}$ dispose d'une structure de groupe abélien qui est le sous groupe des diviseurs $\text{[math]}$ linéairement équivalent à $\text{[math]}$ ( i.e : $\text{[math]}$ ) du groupe de Picard $\text{[math]}$ .

Alors puisque $\text{[math]}$ est une bijection, alors :

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure de variété issue de $\text{[math]}$ , à l'objet $\text{[math]}$ , et devient lui aussi une variété en plus de sa structure de départ qui est un groupe, et on le nomme variété de Picard : $\text{[math]}$ .

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure du groupe abélien issue de $\text{[math]}$ , à l'objet $\text{[math]}$ , et devient lui aussi un groupe abélien en plus de sa structure de départ qui est une variété.

Finalement, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les mêmes, et ont tous les deux à la fois, une structure de variété et une structure de groupe abélien.

Cordialement.

**minushabens** · 27/09/2018, 04h21

Si on prend le mot transport dans le sens ordinaire, je peux penser à deux choses:

1) la théorie du "transport optimal" où on se donne une distribution de "ressources" dans un certain espace et une distribution de "consommateurs" dans le même espace et où il s'agit d'affecter les ressources aux consommateurs de façon à minimiser le coût du transport. Cédric Villani a écrit un livre sur ce sujet.

2) l'étude et la modélisation des réseaux de transport (routier, d'électricité, etc). Là il s'agit de maths appliquées. J'avais assisté à un exposé par un chercheur de l'institut de recherche sur les transports de Lyon. Il s'agissait de modéliser le flux de véhicules sur un réseau routier, dans le but d'en optimiser le débit global en agissant sur les limitations de vitesse (entre autres, me souviens plus bien). Je me rappelle qu'il utilisait des concepts issus de la mécanique des fluides et de l'électricité, les lois de Kirchhoff par exemple.

**Seirios** · 27/09/2018, 07h51

@Anonyme007 : Je sais bien qu'on peut "transporter" des structures via des bijections, mais en quoi cela peut-il être un sujet à part entière ? D'autant que mathématiquement il me semble que c'est assez élémentaire la plupart du temps.

Envoyé par Médiat

Parfois c'est ainsi que l'on "définit" un isomorphisme (mais je n'aime pas beaucoup cette expression à l'exception d'un cas (que j'ai cité))

Vaste sujet, sur lequel il est facile de partir n'importe comment. Je pense qu'il serait constructif que lidec précise davantage ce qu'il a en tête.

**Anonyme007** · 27/09/2018, 08h31

Envoyé par Seirios

@Anonyme007 : Je sais bien qu'on peut "transporter" des structures via des bijections, mais en quoi cela peut-il être un sujet à part entière ? D'autant que mathématiquement il me semble que c'est assez élémentaire la plupart du temps.

C'est de quoi j'avais parlé au début de ce fil. XXXX. Le contexte générale appartient aux 4 sujets mentionnées plus haut au début du fil, et trouve son application ou son aspect utilitariste dans la conception d'une théorie appelée : computation theory qui sert à fabriquer ou donner la première architecture de ce qu'est une machine programmable ainsi que son fonctionnement logique.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ansset** · 27/09/2018, 10h10

Envoyé par Seirios

Vaste sujet, sur lequel il est facile de partir n'importe comment. Je pense qu'il serait constructif que lidec précise davantage ce qu'il a en tête.

tout à fait d'accord.
à la fois sur une précision éventuelle de son sujet, et sur le fait que CE tipe n'est fait que pour l'Ens.
car il me semble ( voir plus haut ) que la thématique ne correspond pas au sujet de l'année. ( donc peu acceptable pour d'autres écoles )

mais il n'est pas revenu, donc je m'abstiens de tout autre commentaire inutile.

**minushabens** · 27/09/2018, 11h06

Envoyé par Seirios

@Anonyme007 : Je sais bien qu'on peut "transporter" des structures via des bijections, mais en quoi cela peut-il être un sujet à part entière ? D'autant que mathématiquement il me semble que c'est assez élémentaire la plupart du temps.

un problème qui n'est pas trivial c'est le problème inverse: étant données deux structures, déterminer si elles sont isomorphes, et déterminer l'isomorphisme, ou un isomorphisme s'il n'est pas unique. Quand les structures sont fines, par exemple deux groupes de même ordre n, où n est un entier "grand" c'est un problème algorithmique difficile.

**Seirios** · 27/09/2018, 12h54

Tout à fait d'accord, je suis d'ailleurs assez sensible au problème d'isomorphisme en théorie des groupes (plutôt infinis). Mais je n'ai pas l'impression que cela rentre dans ce que l'on pourrait appeler "transport de structure". Ou alors c'est que je suis à côté de la plaque, ce qui est possible.

**ansset** · 27/09/2018, 13h06

Envoyé par Seirios

Tout à fait d'accord, je suis d'ailleurs assez sensible au problème d'isomorphisme en théorie des groupes (plutôt infinis). Mais je n'ai pas l'impression que cela rentre dans ce que l'on pourrait appeler "transport de structure". Ou alors c'est que je suis à côté de la plaque, ce qui est possible.

le sujet de l'année n'est même pas "transport de structure" mais "transport" tout court !
d'en faire un sujet sur les isomorphismes me semble un peu "éloigné" , non ?

**Anonyme007** · 27/09/2018, 17h08

Bonjour,

Envoyé par Anonyme007

Alors puisque $\text{[math]}$ est une bijection, alors :

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure de variété issue de $\text{[math]}$ , à l'objet $\text{[math]}$ , et devient lui aussi une variété en plus de sa structure de départ qui est un groupe, et on le nomme variété de Picard : $\text{[math]}$ .

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure du groupe abélien issue de $\text{[math]}$ , à l'objet $\text{[math]}$ , et devient lui aussi un groupe abélien en plus de sa structure de départ qui est une variété.

Finalement, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les mêmes, et ont tous les deux à la fois, une structure de variété et une structure de groupe abélien.

Lorsque j'ai dit :

... Finalement, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les mêmes, et ont tous les deux à la fois, une structure de variété et une structure de groupe abélien ...

J'ai voulu sous entendre qu'on est devant un objet à la fois géométrique ( $\text{[math]}$ : est une courbe, c'est une variété ), et algébrique ( $\text{[math]}$ : par cette astuce de transport est un groupe, donc, de nature algébrique ). D'où l’appellation : géométrie algébrique à laquelle appartient ce phénomène particulier de transport.

Donc, on voit ici, que le phénomène de transport n'est pas restreint à une meme catégorie comme l'aurait voulu @Lidec, mais à deux catégories distinctes : ( i.e : Dualité : Variété / Groupe ), c'est dans cette optique qu'a pu être étendu cette notion de transport pour ne pas couvrir que le transport entre catégories, mais aussi : Transport entre théories, pour arriver au transport entre langages, d'où la naissance de programmation informatique et machine programmable. Vous pouvez lire d'avantage sur ce sujet en consultant des ouvrages en lien avec : computation theory si vous voulez explorer cet aspect lié à l'application de ces notions en informatique. Vous deviendrez pro en programmation théorique.

Moi je ne suis pas pro en fait pour être claire, car moi, je m’intéresse uniquement au volet qui porte sur la théorie de l'unification mathématique, qui a un aspect plus mathématique que informatique, mais puisque personne de nos jours n'aiment se diriger vers ce monde de mathématique fondamentale et pure, pour les soucis que les jeunes étudiants trouvent ( Manque de postes en marché d'emploi dédié aux lauréats de ce volet là ), alors, j'ai décidé de vous réorienter en vous proposant son contre-volet appliqué qui est l'informatique.

**ansset** · 27/09/2018, 17h15

Envoyé par Anonyme007

……. alors, j'ai décidé de vous réorienter en vous proposant son contre-volet appliqué qui est l'informatique.

remarque qui peut quand même faire sourire ( à défaut d'autres commentaires )

mais sur le fond, comme il a été dit plus haut, il n'est pas revenu sur les autres remarques globales concernant son sujet.

**Médiat** · 27/09/2018, 19h15

Envoyé par minushabens

un problème qui n'est pas trivial c'est le problème inverse: étant données deux structures, déterminer si elles sont isomorphes

Une question profonde est de déterminer combien de classes d'isomorphismes (de modèles non isomorphes) existent pour une théorie donnée (théorie complète pour que ce soit intéressant), pour chaque cardinaux.

**Tryss2** · 27/09/2018, 19h49

Facile je peux le faire pour la théorie des groupes abéliens (finis). Et je vous laisse le cas général (groupes fini) en exercice

**Médiat** · 27/09/2018, 20h10

Je vous mets, amicalement, au défi d'écrire l'axiomatisation (FOL) de la théorie des groupes finis (

)

**stefjm** · 27/09/2018, 21h31

Il peut le faire

**Médiat** · 27/09/2018, 21h54

Et vous ?

**Tryss2** · 27/09/2018, 23h08

@Médiat : C'est bien pour ça que je le laisse en exercice aux lecteurs !

(moi je sais juste compter les groupes abéliens finis

)

**stefjm** · 28/09/2018, 07h22

Envoyé par stefjm

Il peut le faire

Envoyé par Médiat

Et vous ?

Envoyé par Médiat

Vous savez bien qu'en mathématiques, savoir que l'on peut faire, vaut mieux que faire

Pas mieux.

**Médiat** · 28/09/2018, 08h43

Dois-je en conclure que vous savez faire ?

De plus, si savoir faire est plus important que faire, il faut néanmoins prouver que l'on sait faire : à vous de jouer

**stefjm** · 28/09/2018, 09h49

Envoyé par Médiat

Dois-je en conclure que vous savez faire ?

A vos risques et périls.

**Tryss2** · 28/09/2018, 10h28

Sans formaliser rigoureusement, il y a

$\text{[math]}$ groupes abéliens d'ordre $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est le nombre de partitions de l'entier $\text{[math]}$

Le théorème de Kronecker nous avance déjà beaucoup (puisqu'il décrit tout les groupes abéliens finis). Il reste à les compter

Pour ce faire, on remarque qu'une suite (ai) du lien ci-dessus, c'est pareil, en notant $\text{[math]}$ qu'une suite finie $\text{[math]}$ de n-uplets à valeurs entières (positives) vérifiant :

1) $\text{[math]}$

2) $\text{[math]}$

Et on reconnait alors en 2) une partition de l'entier $\text{[math]}$ (la condition 1, nous assure qu'on ne la compte qu'une fois).

Digression sur le transport de structure

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Re : tipe math pour ens

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