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les formules de Pi




  1. #1
    andretou

    les formules de Pi

    Bonjour à tous
    Les formules qui permettent de calculer la valeur exacte de sont très nombreuses, d'ailleurs souvent étonnantes, et on en découvre même de nouvelles régulièrement.
    La question de savoir s'il existe une infinité de formules permettant de calculer a-t-elle été résolue ? Sait-on s'il existe une infinité de formules permettant de calculer ce nombre ?
    Merci d'avance pour vos réponses

    -----

    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  3. #2
    Tryss2

    Re : les formules de Pi

    Oui, il en, existe une infinité. Tu prends une formule qui donne pi, une formule qui donne 0, tu fais la somme des deux formules et tu obtiens une formule qui donne pi.

    Et c'est très facile de fabriquer une infinité de formules qui donnent 0

  4. #3
    Anonyme007

    Re : les formules de Pi

    Bonsoir Tryss2 :

    Ton astuce, par analogie, me fait penser à la façon dont s'expriment les solutions des équations différentielles linéaires.
    Voici l'analogie qui me frappe à l'esprit :
    Tu affirmes que : et que : est limite d'une formule algébrique particulière et que est limite d'une infinité de formules algébriques.
    En théorie des EDO linéaires, toute solution s'exprime par : avec une solution particulière de l'équation différentielle linéaire : , et que fait partie d'une infinité de solutions de ( Espace vectoriel des solutions générales de ).
    Cette analogie est d'une importance majeure en théorie des EDP aussi.

    Cordialement.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 14/09/2018 à 03h08.


  5. #4
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Oui, il en, existe une infinité. Tu prends une formule qui donne pi, une formule qui donne 0, tu fais la somme des deux formules et tu obtiens une formule qui donne pi.

    Et c'est très facile de fabriquer une infinité de formules qui donnent 0
    D'accord, mais dans le même esprit on peut aussi prendre une formule qui donne pi, une formule qui donne 1, faire le produit des deux formules et on obtient ainsi une "nouvelle" formule qui donne pi...
    Mais ces nouvelles formules ne sont nouvelles que par la forme, elles se déduisent des formules qui existent déjà dont elles ne sont pas fondamentalement différentes.
    Qu'en est-il si on ne considère que les formules de pi vraiment nouvelles ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  6. #5
    pm42

    Re : les formules de Pi

    Définis «*vraiment nouvelle*» et on en parlera.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    Soient f et g deux formules différentes qui donnent pi, alors g-f donne 0 et g = f + (g-f), donc f et g ne sont pas "différentes" ergo il n'y a qu'une seule formule qui donne pi (les autres s'en déduisent)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #7
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Soient f et g deux formules différentes qui donnent pi, alors g-f donne 0 et g = f + (g-f), donc f et g ne sont pas "différentes" ergo il n'y a qu'une seule formule qui donne pi (les autres s'en déduisent)
    Objection ! 2 objets mathématiques peuvent être égaux tout en étant différents, comme par exemple 1 et 0,999...
    Les 2 formules f et g peuvent donc être égales ET différentes, non ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  10. Publicité
  11. #8
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    No comment !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Des formules de Pi aussi différentes que celles de Viète et de Ramanujan peuvent-elles se déduire l'une de l'autre ???
    Cela me semble a priori totalement impossible (même si en maths on n'est jamais à l'abri d'une énorme surprise)...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  13. #10
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Définis «*vraiment nouvelle*» et on en parlera.
    Un critère pour apprécier si 2 formules de pi sont différentes l'une de l'autre est de comparer le temps de calcul mis par une machine.
    Si le temps de calcul est différent, alors je pense que l'on peut affirmer que ce ne sont pas les mêmes formules.
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  14. #11
    minushabens

    Re : les formules de Pi

    Qu'appelles-tu une "formule permettant de calculer pi"? Si c'est une suite de nombres algébriques (ou rationnels?) convergeant vers pi alors la question n'a pas beaucoup d'intérêt parce qu'on peut toujours modifier un nombre fini de termes (même un seul) d'une suite pour obtenir une nouvelle suite, dont la limite est toujours pi.

  15. #12
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Voici un exemple de formule permettant de calculer pi : https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm

    Mais je ne comprends pas bien ton argument selon lequel la question n'a pas beaucoup d'intérêt. Pourrais-tu STP l'expliciter ?
    Dernière modification par andretou ; 14/09/2018 à 16h34.
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  16. #13
    minushabens

    Re : les formules de Pi

    La formule que tu cites est bien une suite de nombres algébriques (en fait une série mais c'est au fond la même chose). Ce que Tryss2 et Médiat suggèrent c'est d'ajouter à cette suite n'importe quelle suite de nombres algébriques tendant vers zéro. Par exemple les suites 1/n^k, k>=1, ça en fait déjà une infinité. Ce que je suggère c'est juste de modifier par exemple le premier terme de la suite, ou dans ce cas les deux premiers termes de la série, en ajoutant k au premier et en enlevant k au second par exemple, pour un entier k quelconque, ça fait déjà une infinité de suites modifiées. Tu vois que tout ça est assez trivial et c'est pour ça que je trouve ta question peu intéressante ou mal formulée.

  17. #14
    andretou

    Re : les formules de Pi

    D'accord. Cependant, de telles formules (ainsi modifiées en leur ajoutant et en leur retranchant des termes qui s'annulent) sont simplifiables.
    Alors je reformule la question : existe-t-il une infinité de formules de pi non simplifiables ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  18. #15
    gg0

    Re : les formules de Pi

    C'est quoi "simplifiable" ? Après tout, toutes les suites dont tu veux parler sont simplifiable pour les ramener à une seule lettre : .

  19. #16
    andretou

    Re : les formules de Pi

    De mon point de vue, le symbole qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même.
    La suite de chiffres 314159... est quant à elle sans doute intéressante à étudier, mais à mon humble avis ce sont plutôt les formules qui permettent de calculer pi qui lui donnent une véritable signification (d'où ma question sur le nombre fini ou infini de ces formules)...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  20. #17
    eudea-panjclinne

    Re : les formules de Pi

    La suite de chiffres 314159... est quant à elle sans doute intéressante à étudier, mais à mon humble avis ce sont plutôt les formules qui permettent de calculer pi qui lui donnent une véritable signification (d'où ma question sur le nombre fini ou infini de ces formules)...
    Historiquement ce sont les recherches de suites et séries ayant pour limite Pi (on parlait à l'époque de quadrature du cercle) qui ont contribué au 17e siècle à faire émerger le concept de suite convergentes et de série. Il suffit de penser à la série de Leibniz donnant Pi:
    Pi/4=1-1/3+1/5-1/7+...
    Elle joua un rôle important dans ses propres recherches et celles de ses contemporains.
    Les suites de Wallis et Viète, les fractions continues de Lord Brounker sont ainsi.
    Quant à savoir si ces formules donnent une véritable signification à Pi, je ne vois pas trop laquelle. C'est la recherche de l'antique problème de la quadrature du cercle qui a motivé les mathématiciens à rechercher des expressions de Pi et qui leur aurait permis de résoudre ce problème : Ils n'y sont pas parvenu, mais ils ont trouvé autre chose...

  21. #18
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    Quant à savoir si ces formules donnent une véritable signification à Pi, je ne vois pas trop laquelle.
    Moi non plus, hélas !... Mais faut-il pour autant se contenter de donner à pi autant de significations qu'il existe de formules pour le calculer (à commencer par sa signification historique qui est le rapport de la circonférence au diamètre), ou bien peut-on envisager que pi ait une signification plus profonde (que nous ne connaissons pas) dont chacune des formules révèle un des aspects ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  22. #19
    gg0

    Re : les formules de Pi

    Andretou :
    "De mon point de vue, le symbole qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même"
    Ben si, il désigne un nombre précis, défini pour les mathématiciens comme le plus petit réel strictement positif dont le sinus (défini par sa série) est nul.
    Mais s'il n'a aucune signification pour toi, pourquoi viens-tu en parler ici ? Moi, en tout cas, je ne vois pas de raison de te lire, tu radotes.

  23. #20
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Andretou :
    "De mon point de vue, le symbole qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même"
    Ben si, il désigne un nombre précis, défini pour les mathématiciens comme le plus petit réel strictement positif dont le sinus (défini par sa série) est nul.
    Je suis d'accord avec toi sur ce point, que n'a de sens qu'à travers une égalité, en l'occurrence : , c'est-à-dire à travers une formule ! (s'agit-il au passage de la définition de Bourbaki ?)

    En revanche, si tu prétends que toutes les formules sont simplifiables, de quelle manière comptes-tu donc simplifier celle-ci afin de la "ramener à une seule lettre" ?
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Après tout, toutes les suites dont tu veux parler sont simplifiable pour les ramener à une seule lettre : .
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  24. #21
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Je me demande tout à coup si ce foisonnement de formules est spécifique à ...
    Peut-on trouver autant de formules pour que pour ?
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  25. #22
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    même pour 1
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #23
    stefjm

    Re : les formules de Pi

    Bonjour,





    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  27. #24
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    Bonjour,
    Citation Envoyé par stefjm Voir le message

    C'est le vocabulaire de Peano

    n'appartient pas au vocabulaire de Peano ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #25
    stefjm

    Re : les formules de Pi

    Possible en ZF?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  29. #26
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    IR est définissable dans ZF, avec une définition à partir de limites de suites rationnelles, par exemple, pas de problème pour pi.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  30. #27
    andretou

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    même pour 1
    Il existe donc quantité de formules pour 1 ? Des formules non triviales, aussi intéressantes que celles que l'on connaît pour ?
    Pour ma part je crois que je n'en connais que 4 :
    1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
    1 = -i²
    1 = cos² + sin²
    1 =

    Je suppose qu'il en existe plein d'autres...
    Bon, le connaissable, c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  31. #28
    stefjm

    Re : les formules de Pi

    Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne ?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  32. #29
    stefjm

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    1 = cos² + sin²
    Je suppose qu'il en existe plein d'autres...
    quel que soit réel, donc une infinité.
    et encore une autre...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  33. #30
    Médiat

    Re : les formules de Pi

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne ?
    Vous savez bien qu'en mathématiques, savoir que l'on peut faire, vaut mieux que faire
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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