les formules de Pi

**andretou** · 13/09/2018, 21h22

Bonjour à tous
Les formules qui permettent de calculer la valeur exacte de $\text{[math]}$ sont très nombreuses, d'ailleurs souvent étonnantes, et on en découvre même de nouvelles régulièrement.
La question de savoir s'il existe une infinité de formules permettant de calculer $\text{[math]}$ a-t-elle été résolue ? Sait-on s'il existe une infinité de formules permettant de calculer ce nombre ?
Merci d'avance pour vos réponses

**Tryss2** · 14/09/2018, 01h44

Oui, il en, existe une infinité. Tu prends une formule qui donne pi, une formule qui donne 0, tu fais la somme des deux formules et tu obtiens une formule qui donne pi.

Et c'est très facile de fabriquer une infinité de formules qui donnent 0

**Anonyme007** · 14/09/2018, 02h03

Bonsoir Tryss2 :

Ton astuce, par analogie, me fait penser à la façon dont s'expriment les solutions des équations différentielles linéaires.

Voici l'analogie qui me frappe à l'esprit :
Tu affirmes que : $\text{[math]}$ et que : $\text{[math]}$ est limite d'une formule algébrique particulière et que $\text{[math]}$ est limite d'une infinité de formules algébriques.
En théorie des EDO linéaires, toute solution $\text{[math]}$ s'exprime par : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une solution particulière de l'équation différentielle linéaire : $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ fait partie d'une infinité de solutions de $\text{[math]}$ ( Espace vectoriel des solutions générales de $\text{[math]}$ ).
Cette analogie est d'une importance majeure en théorie des EDP aussi.

Cordialement.

**andretou** · 14/09/2018, 10h23

Envoyé par Tryss2

Oui, il en, existe une infinité. Tu prends une formule qui donne pi, une formule qui donne 0, tu fais la somme des deux formules et tu obtiens une formule qui donne pi.

Et c'est très facile de fabriquer une infinité de formules qui donnent 0

D'accord, mais dans le même esprit on peut aussi prendre une formule qui donne pi, une formule qui donne 1, faire le produit des deux formules et on obtient ainsi une "nouvelle" formule qui donne pi...
Mais ces nouvelles formules ne sont nouvelles que par la forme, elles se déduisent des formules qui existent déjà dont elles ne sont pas fondamentalement différentes.
Qu'en est-il si on ne considère que les formules de pi vraiment nouvelles ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pm42** · 14/09/2018, 10h25

Définis «*vraiment nouvelle*» et on en parlera.

**Médiat** · 14/09/2018, 10h28

Soient f et g deux formules différentes qui donnent pi, alors g-f donne 0 et g = f + (g-f), donc f et g ne sont pas "différentes" ergo il n'y a qu'une seule formule qui donne pi (les autres s'en déduisent)

**andretou** · 14/09/2018, 13h20

Envoyé par Médiat

Soient f et g deux formules différentes qui donnent pi, alors g-f donne 0 et g = f + (g-f), donc f et g ne sont pas "différentes" ergo il n'y a qu'une seule formule qui donne pi (les autres s'en déduisent)

Objection ! 2 objets mathématiques peuvent être égaux tout en étant différents, comme par exemple 1 et 0,999...
Les 2 formules f et g peuvent donc être égales ET différentes, non ?

**Médiat** · 14/09/2018, 13h55

No comment !

**andretou** · 14/09/2018, 14h16

Des formules de Pi aussi différentes que celles de Viète et de Ramanujan peuvent-elles se déduire l'une de l'autre ???
Cela me semble a priori totalement impossible (même si en maths on n'est jamais à l'abri d'une énorme surprise)...

**andretou** · 14/09/2018, 14h26

Envoyé par pm42

Définis «*vraiment nouvelle*» et on en parlera.

Un critère pour apprécier si 2 formules de pi sont différentes l'une de l'autre est de comparer le temps de calcul mis par une machine.
Si le temps de calcul est différent, alors je pense que l'on peut affirmer que ce ne sont pas les mêmes formules.

**minushabens** · 14/09/2018, 15h19

Qu'appelles-tu une "formule permettant de calculer pi"? Si c'est une suite de nombres algébriques (ou rationnels?) convergeant vers pi alors la question n'a pas beaucoup d'intérêt parce qu'on peut toujours modifier un nombre fini de termes (même un seul) d'une suite pour obtenir une nouvelle suite, dont la limite est toujours pi.

**andretou** · 14/09/2018, 15h32

Voici un exemple de formule permettant de calculer pi : https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm

Mais je ne comprends pas bien ton argument selon lequel la question n'a pas beaucoup d'intérêt. Pourrais-tu STP l'expliciter ?

**minushabens** · 15/09/2018, 12h34

La formule que tu cites est bien une suite de nombres algébriques (en fait une série mais c'est au fond la même chose). Ce que Tryss2 et Médiat suggèrent c'est d'ajouter à cette suite n'importe quelle suite de nombres algébriques tendant vers zéro. Par exemple les suites 1/n^k, k>=1, ça en fait déjà une infinité. Ce que je suggère c'est juste de modifier par exemple le premier terme de la suite, ou dans ce cas les deux premiers termes de la série, en ajoutant k au premier et en enlevant k au second par exemple, pour un entier k quelconque, ça fait déjà une infinité de suites modifiées. Tu vois que tout ça est assez trivial et c'est pour ça que je trouve ta question peu intéressante ou mal formulée.

**andretou** · 15/09/2018, 12h58

D'accord. Cependant, de telles formules (ainsi modifiées en leur ajoutant et en leur retranchant des termes qui s'annulent) sont simplifiables.
Alors je reformule la question : existe-t-il une infinité de formules de pi non simplifiables ?

**gg0** · 15/09/2018, 12h59

C'est quoi "simplifiable" ? Après tout, toutes les suites dont tu veux parler sont simplifiable pour les ramener à une seule lettre : $\text{[math]}$ .

**andretou** · 15/09/2018, 14h03

De mon point de vue, le symbole $\text{[math]}$ qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même.
La suite de chiffres 314159... est quant à elle sans doute intéressante à étudier, mais à mon humble avis ce sont plutôt les formules qui permettent de calculer pi qui lui donnent une véritable signification (d'où ma question sur le nombre fini ou infini de ces formules)...

**eudea-panjclinne** · 15/09/2018, 15h24

La suite de chiffres 314159... est quant à elle sans doute intéressante à étudier, mais à mon humble avis ce sont plutôt les formules qui permettent de calculer pi qui lui donnent une véritable signification (d'où ma question sur le nombre fini ou infini de ces formules)...

Historiquement ce sont les recherches de suites et séries ayant pour limite Pi (on parlait à l'époque de quadrature du cercle) qui ont contribué au 17e siècle à faire émerger le concept de suite convergentes et de série. Il suffit de penser à la série de Leibniz donnant Pi:
Pi/4=1-1/3+1/5-1/7+...
Elle joua un rôle important dans ses propres recherches et celles de ses contemporains.
Les suites de Wallis et Viète, les fractions continues de Lord Brounker sont ainsi.
Quant à savoir si ces formules donnent une véritable signification à Pi, je ne vois pas trop laquelle. C'est la recherche de l'antique problème de la quadrature du cercle qui a motivé les mathématiciens à rechercher des expressions de Pi et qui leur aurait permis de résoudre ce problème : Ils n'y sont pas parvenu, mais ils ont trouvé autre chose...

**andretou** · 15/09/2018, 15h41

Envoyé par eudea-panjclinne

Quant à savoir si ces formules donnent une véritable signification à Pi, je ne vois pas trop laquelle.

Moi non plus, hélas !... Mais faut-il pour autant se contenter de donner à pi autant de significations qu'il existe de formules pour le calculer (à commencer par sa signification historique qui est le rapport de la circonférence au diamètre), ou bien peut-on envisager que pi ait une signification plus profonde (que nous ne connaissons pas) dont chacune des formules révèle un des aspects ?

**gg0** · 15/09/2018, 16h43

Andretou :
"De mon point de vue, le symbole $\pi$ qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même"
Ben si, il désigne un nombre précis, défini pour les mathématiciens comme le plus petit réel strictement positif dont le sinus (défini par sa série) est nul.
Mais s'il n'a aucune signification pour toi, pourquoi viens-tu en parler ici ? Moi, en tout cas, je ne vois pas de raison de te lire, tu radotes.

**andretou** · 15/09/2018, 18h56

Envoyé par gg0

Andretou :
"De mon point de vue, le symbole $\pi$ qui désigne le nombre pi n'a aucune signification par lui-même"
Ben si, il désigne un nombre précis, défini pour les mathématiciens comme le plus petit réel strictement positif dont le sinus (défini par sa série) est nul.

Je suis d'accord avec toi sur ce point, que $\text{[math]}$ n'a de sens qu'à travers une égalité, en l'occurrence : $\text{[math]}$ , c'est-à-dire à travers une formule ! (s'agit-il au passage de la définition de Bourbaki ?)

En revanche, si tu prétends que toutes les formules sont simplifiables, de quelle manière comptes-tu donc simplifier celle-ci afin de la "ramener à une seule lettre" ?

Envoyé par gg0

Après tout, toutes les suites dont tu veux parler sont simplifiable pour les ramener à une seule lettre : $\text{[math]}$ .

**andretou** · 16/09/2018, 09h28

Je me demande tout à coup si ce foisonnement de formules est spécifique à $\text{[math]}$ ...
Peut-on trouver autant de formules pour $\text{[math]}$ que pour $\text{[math]}$ ?

**Médiat** · 16/09/2018, 09h32

même pour 1

**stefjm** · 16/09/2018, 09h43

Bonjour,

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Cordialement.

**Médiat** · 16/09/2018, 10h51

Bonjour,

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$

C'est le vocabulaire de Peano

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ n'appartient pas au vocabulaire de Peano ...

**stefjm** · 16/09/2018, 11h18

Possible en ZF?

**Médiat** · 16/09/2018, 11h31

IR est définissable dans ZF, avec une définition à partir de limites de suites rationnelles, par exemple, pas de problème pour pi.

**andretou** · 16/09/2018, 14h38

Envoyé par Médiat

même pour 1

Il existe donc quantité de formules pour 1 ? Des formules non triviales, aussi intéressantes que celles que l'on connaît pour $\text{[math]}$ ?
Pour ma part je crois que je n'en connais que 4 :
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
1 = -i²
1 = cos² $\text{[math]}$ + sin² $\text{[math]}$
1 = $\text{[math]}$

Je suppose qu'il en existe plein d'autres...

**stefjm** · 16/09/2018, 14h39

Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne $\text{[math]}$ ?

**stefjm** · 16/09/2018, 14h46

Envoyé par andretou

1 = cos² $\text{[math]}$ + sin² $\text{[math]}$
Je suppose qu'il en existe plein d'autres...

$\text{[math]}$ quel que soit $\text{[math]}$ réel, donc une infinité.
$\text{[math]}$ et encore une autre...

**Médiat** · 16/09/2018, 14h51

Envoyé par stefjm

Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne $\text{[math]}$ ?

Vous savez bien qu'en mathématiques, savoir que l'on peut faire, vaut mieux que faire

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