Intégration par parties - TF

[fabio123]

Bonjour,
dans le calcul de la transformée de Fourier de la dérivée d'une fonction, en faisant une intégration par parties :



J'aimerais savoir comment on peut justifier la nullité du premier terme de l'intégration par parties, c'est-à-dire :



Pour l'instant, faut-il que je m'intéresse à la fonction u(x) OU u'(x) ? , c'est-à-dire pour justifier l'existence de la limite (et après qu'elle soit égale à 0 pour faire disparaître le terme dont je parle ci-dessus) ?

Si je prends la définition de u'(x) intégrable :

Soit localement intégrable sur I et à valeurs réelles positives.

On démontre que est intégrable sur si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout segment inclus dans :



et qu'alors, l'intégrale de u' sur I est la borne supérieure de ces intégrales.

Mais le passage de l'intervalle I à un intervalle me bloque :

je peux écrire :

Sinon, si j'admets que l'intégrale est majorée (ou plutôt l'intégrale de la valeur absolue de u'(x) ?) par une quantité qui tend vers 0 quand
, Alors je peux en déduire que la limite de cette intégrale ne peut être égale qu'à 0.

Toute aide est la bienvenue

Cordialement
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[Anonyme007]

Bonjour,

Tu peux nous dire d'abord, appartient-il à quel espace d'après ton cours ou ton exercice ?

[gg0]

Sujet amplement traité sur un autre forum.

[Anonyme007]

Normalement, en Transformée de Fourier, appartient à la classe de Schwartz de si on souhaite définir sa transformée de Fourier : .
On écrit :
Soit :

Non ?
Donc, , non ?
Ton exo n'a ni queue ni tète.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

@gg0

Désolé, je n'arrive plus à poster sur le forum en question (aperçu valide mais bug à l'envoi), c'est pourquoi je poste ici.

[fabio123]

Si je prends la définition de u'(x) intégrable :

Soit u'(x)$ localement intégrable sur I et à valeurs réelles positives.

On démontre que est intégrable sur I si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout segment inclus dans :



et qu'alors, l'intégrale de u' sur I est la borne supérieure de ces intégrales.

Mais le passage de l'intervalle I à un intervalle ] me bloque :

je peux écrire :

Sinon, si j'admets que l'intégrale est majorée (ou plutôt l'intégrale de la valeur absolue de u'(x) ?) par une quantité qui tend vers 0 quand
, Alors je pourrais en déduire que la limite de cette intégrale ne peut être égale qu'à 0, n'est-ce pas ?

Cordialement

[azizovsky]

Théorème de Riemann-Lebesgue: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...emann-Lebesgue

[fabio123]

@ azizovsky

Merci pour ton lien. Cependant, la formule :

quand

fait tendre vers l'infini la vriable fréquentielle "s" (et non la variable temporelle comme dans mon cas).

Comment puis-je me servir du théorème Théorème de Riemann-Lebesgue en faisant tendre vers l'infini la variable temporelle ?

[azizovsky]

Tu'as :

et

si on change la notation ....

[fabio123]

@azizovsky

excuse moi, j'ai loupé une étape là :

comment obtiens-tu les égalités suivantes :



??

Le théorème de Riemann-Lebesgue dit que :

quand quand

et moi je veux prouver que :

quand

Je fais tendre la variable temporelle "t" (dans le produit i*\xi*t) vers l'infini dans mon cas et le théorème fait tendre la variable "fréquentielle" "s" (dans le produit "i*s*t") vers l'infini

D'après ces expressions, je ne pense pas faire une confusion mais je ne demande qu'à comprendre mes erreurs.

[azizovsky]

je ne comprend pas ce que tu veux démontrer , c'est comme tu veux montrer que la formule d'inversion ou formule de Fourier càd toute fonction est nulle ! .

[azizovsky]

déjà qlq soit x dans R: si on passe à l'intégrale , on

[azizovsky]

OK, je viens de vérifier , il faut comprendre l'intégrale au sens de partie principale, la fonction est nulle en d'hors d'un certain intervalle [-R,R] (bornée), , j'ai mélangé les pinceaux .....

[azizovsky]

j'ai trouvé une démonstration accessible dans le livre de Walter Appel (mathématique pour la physique ) :

soit une fonction dont la dérivée est elle même Lebesgue-intégrable : , alors

par ailleurs, on 'a, pour :

ce qui montre que admet une limite en , et de même en .
si ces limites étaient non nulle, ne serait clairement pas intégrable sur

[fabio123]

@ azizovsky

merci, on va y arriver, même si la machine est un peu rouillée.

Sur un autre forum, j'ai vu la démo suivante :

Si Alors la limite ci-dessous existe :



De plus, (Raisonnement par l'absurde) : Supposons que .

Alors il existerait a tel que

Par exemple, il existerait a suffisamment grand tel que

et cette proposition contredirait l'intégrabilité "absolue" de sur

Au final, l'hypothèse amène à une proposition absurde , et

1) Comment prouver sous forme de proposition que

ça contredirait l'intégrabilité "absolue" de sur

2) En fait, j'appréhende difficilement l'intégrabilité "au sens de Lebesgue", j'ai vu plusieurs définitions d'une fonction (ici )
dite "Lebesgue intégrable" (notée ) : laquelle me permet de
justifier que la limite ci-dessous est bien finie ? (le fait qu'elle soit égale à 0 fait partie de la question (1)) :



Cordialement

[azizovsky]

Bonjour, je n'est pas trouvé de démonstration claire, la nullité de la fonction est dans sa définition:

Définition 1: soit une fonction sommable sur un domaine borné , ou un ouvert borné quelconque, ce qui est noté habituellement , un prolongement de au delà de par , i.e on suppose que quand x n'est pas dans D.

à partir de cette définition et d'autres qu'il est définie la dérivée distributionnelle .....(le cours que j'ai lu fait référence à l'article de S.Sobolev: quelques applications de l'analyse fonctionnelle en physique mathématique )

on démontre seulement que

par définition de u(x).

celui qui dit le contraire, qu'il le prouve .

[Tryss2]

1) Comment prouver sous forme de proposition que [...]

C'est pourtant simple :

intégrable ("absolument") sur signifie que




Mais si , alors



On aurai : contradiction

[fabio123]

@azizovsky
@Tryss2

Merci pour votre aide. Je réalise à quel point le raisonnement par l'absurde peut être utile (en partant de l'hypothèse que la limite est non nulle) et du coup, on se retrouve avec le critère d'intégrabilité qui n'est pas vérifié (car l'aire correspondant à la fonction tend vers l'infini).

J'ai trouvé une autre démo similaire qui est semblable à celles qui ont déjà été évoquées dans ce fil :

"Maintenant si , alors donc qui tend vers quand , et donc existe, et est bien sûr ."

Intuitivement, si la fonction tend vers une limite, Alors il existera toujours un a assez grand tel que pour tout , , c'est-à-dire tel que la pente se rapproche infiniment vers 0.

Je pense que ce raisonnement démontre que la limite existe bien mais reste à faire quand même selon moi un raisonnement par l'absurde pour prouver qu'elle est nulle.
Si quelqu'un pouvait confirmer.

Cordialement

[fabio123]

Aussi issu de l'autre forum cité plus haut :



et alors :

car les bornes x et x+1 tendent vers la même valeur à l'infini.

donc

Le passage de |u(x)| (eq(1)) à u(x) (eq(2)) à la limite en l'infini ne pose t-il pas de problème ?