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Intégration




  1. #1
    mehdi_128

    Intégration

    Bonsoir,

    Je bloque sur cette inégalité, en fait j'ai démontré l'inégalité large mais je ne sais pas le faire avec l'inégalité stricte

    On a :

    Montrer que :

    Posons :

    d'après le tableau de variation on obtient sur [0,1]

    et est non identiquement nulle sur [0,1] donc : d'où :

    Pour la deuxième inégalité je n'ai pas réussi à démontré l'inégalité stricte juste l'inégalité large car :

    :

    Par passage à l'intégrale j'obtiens :

    Comment faire ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    JB2017

    Re : Intégration

    Bonjour
    Tu as démontré que la première inégalité est stricte. Et bien pour la deuxième inégalité c'est la même méthode.

  4. #3
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Salut JB par exemple :

    ne s'annule que en donc :

    donc par passage à l'intégrale on a le résultat.

    Il suffit qu'il y ait un point de l'intervalle où l'inégalité est stricte pour avoir l'inégalité stricte des intégrales c'est ça ?


  5. #4
    gg0

    Re : Intégration

    Pas vraiment !

    Les fonctions f et g définies sur [0,1] par f(x)=1 et par g(0)=0 et g(x)=1 si x>0 ont la même intégrale sur [0,1]. Avec l'intégrale de Lebesgue, des fonctions peuvent même avoir une infinité de valeurs différentes et des intégrales égales.
    Par contre, si f et g sont continues sur un intervalle I, avec sur I, et si en une valeur x0 de I on a f(x0)<g(x0) alors :
    .
    Comme c'est une question typique d'oral de Capes, tu as intérêt à trouver la preuve tout seul.

    Cordialement.

  6. #5
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Salut Ggo !

    Merci pour la précision

    Dans mon cas j'ai donc une infinité de valeurs tel que vu que ça marche
    J'ai oublié la continuité...

    En fait comme j'ai décidé d'arrêter avec l'autre livre truffé d'erreurs et qui m'a embrouillé dans tous les sens, j'ai commencé le sujet du CAPES maths 1 2018 et c'était la question 6. Mais ce théorème je l'ai pas encore vu :/ Du coup je pense que ce soit pas une bonne idée de continuer le sujet. Même si j'ai réussi 5 questions sur 6, le reste étaient des questions sur les suites adjacentes et je suis à l'aise avec les suites et les calculs.

    Demain je vais recevoir mon nouveau livre, j'espère que je ferai des vrais maths maintenant :

    9782100776597-001-X.jpeg

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tryss2

    Re : Intégration

    Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer !

    Tu dois être capable de montrer le théorème suivant :

    Soient f et g continues de [0,1] dans R vérifiant :
    1)
    2)

    Alors

  9. #7
    mehdi_128

    Re : Intégration

    @Tryss

    Je n'ai pas encore revu le chapitre Intégration de MPSI, je vois pas du tout comment partir.

  10. Publicité
  11. #8
    Tryss2

    Re : Intégration

    Y'a pas besoin de savoir plus sur l'intégrale que ce qu'on sait déjà en terminale.

    Par contre, connaitre la définition de la continuité en un point est fondamental.


    Aussi, astuce très utile en mathématiques : montrer que a < b, ou montrer que b-a > 0, c'est la même chose

  12. #9
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Ok je me lance alors !

    Soient f et g continues de [0,1] dans R vérifiant :
    1)
    2)

    Il faut montrer que :


    Or :

    Là je vois pas trop.

  13. #10
    gg0

    Re : Intégration

    Tu intègres une fonction positive, pour qu'elle soit strictement positive (fais un dessin), il suffit qu'elle soit "pas nulle" sur un petit intervalle au moins, ce que tu peux assurer avec la continuité et la stricte positivité en x0.

  14. #11
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Tu intègres une fonction positive, pour qu'elle soit strictement positive (fais un dessin), il suffit qu'elle soit "pas nulle" sur un petit intervalle au moins, ce que tu peux assurer avec la continuité et la stricte positivité en x0.
    Oui mais il faut le démontrer formellement et je vois pas comment débuter la démo

  15. #12
    gg0

    Re : Intégration

    Tu ne connais pas la définition de "f est continue en x0" ?
    C'est ma dernière indication, tu dois te forcer à trouver seul ces preuves élémentaires et à les rédiger toi-même.

  16. #13
    JB2017

    Re : Intégration

    "Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer"

    Ben le problème c'est que la démo je lui ai donnée sur autre forum!!!

    medhi pose beaucoup de questions ici et là. Je ne comprends pas du tout sa démarche.

    Pourquoi dire qu'il ne l'a pas vue.
    Dernière modification par JB2017 ; 09/10/2018 à 10h19.

  17. #14
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    "Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer"

    Ben le problème c'est que la démo je lui ai donnée sur autre forum!!!

    medhi pose beaucoup de questions ici et là. Je ne comprends pas du tout sa démarche.

    Pourquoi dire qu'il ne l'a pas vue.
    J'ai pas compris la démo sur l'autre forum, les notations sont bizarres je les ai jamais vu.

    Sinon f est continue en si :


  18. #15
    gg0

    Re : Intégration

    Donc, sur , on a .
    Et comme , en choisissant bien on obtiendra ce qu'on veut.

  19. #16
    shaams

    Re : Intégration

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    . Et comme , en choisissant bien on obtiendra ce qu'on veut.
    Ce n'est pas plutôt ?

  20. #17
    gg0

    Re : Intégration

    Oui, merci, c'est .

    Cordialement.

  21. #18
    JB2017

    Re : Intégration

    Bizarre je veux bien mais tout de même.

    H: f continue sur [a,b] tel que

    alors
    C:

    En effet,
    la continuité de f en , implique qu'il existe tel que


    Posons . Evidemment
    et sur [a,b], on a ($\chi_J(x)=1$ si $x\in J )=0$ sinon)

    D'où

  22. #19
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Je comprends pas c'est quoi khi et c'est quoi Mes(J)

  23. #20
    ansset

    Re : Intégration

    y'a peut être plus simple.
    est tj <0 sauf en 0 et 1 pour n non nul
    en effet

    qu'on peut écrire.


    g' est strictement négative, sauf en 0 où elle est nulle
    g(0)=0 et g(1)=-1
    donc g est <0 sauf en 0 ou elle est nulle.
    par ailleurs
    sauf en 0 et 1 où elle est nulle.

    donc f(t) est strictement négative sauf en 0 et 1 où elle est nulle.

    ce qui n'empêche que la démo via la continuité est enrichissante pour bien maitriser ce point ( sur lequel travaille Mehdi en ce moment )
    donc ne se substitue pas à l'autre réflexion.
    Dernière modification par ansset ; 09/10/2018 à 19h01.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #21
    gg0

    Re : Intégration

    Mehdi,

    arrête de vouloir comprendre les preuves des autres en regardant ligne par ligne. Construis ta propre preuve avec les indications qu'on te donne. car tu passes plus de temps à demander qu'à vraiment penser.
    Et une fois que tu auras faot ça, tu comprendras sans doute une partie de la preuve de JB2017, compliquée par ses notations inutiles.
    Au fait : Tu ne lis même pas sérieusement, khi est définie dans le texte !!!

  25. #22
    ansset

    Re : Intégration

    faute de frappe :
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    sauf en 0 et 1 où elle est nulle.
    en 1 uniquement bien sur.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    mehdi_128

    Re : Intégration

    C'était simple en fait

    On a :

    :

    Or : alors on peut prendre

    On a alors :

    Donc : par positivité de l"intégrale.

    Or et

    Finalement :

  27. #24
    JB2017

    Re : Intégration

    Oui gg0 a raison mes notations sont inutiles (j'ai simplement voulu englober le cas x_0=a ou x_0=b) mais néanmoins la démo est là.
    Tu aurais pu demander des explications pour ce que veut dire $$\chi_J$$ (c'est une notation asse standard pour fonction caractéristique ou indicatrice de J fonction qui vaut 1 quand x est dans J 0 sinon).
    Et mes(J) c'est la mesure de J, c'est à dire sa longueur.
    Ta démo ça ne vas pas du tout. Car f(x) est supérieur f(x_0)>2 seulement sur un voisinage de x_0 (c'est à dire sur un intervalle J=[x_0-\eta,x_0+\eta] )
    si x_0 est à l'intérieur de [a,b] on choisit \eta assez petit pour que J soit inclus dans [a,b]. Revois ta démo avec les indications que je te donne ici.

  28. #25
    mehdi_128

    Re : Intégration

    Salut JB

    :

    Or : alors on peut prendre

    Soit et petit tel que

    Donc : par positivité de l"intégrale.

    Sur on a :

    Or

    Donc : d'après la relation de Chasles

    Mais :

    Les deux autres intégrales sont positives par positivité de f sur [a,b]

    Finalement :

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