Intégration

[mehdi_128]

Bonsoir,

Je bloque sur cette inégalité, en fait j'ai démontré l'inégalité large mais je ne sais pas le faire avec l'inégalité stricte

On a :

Montrer que :

Posons :

d'après le tableau de variation on obtient sur [0,1]

et est non identiquement nulle sur [0,1] donc : d'où :

Pour la deuxième inégalité je n'ai pas réussi à démontré l'inégalité stricte juste l'inégalité large car :

:

Par passage à l'intégrale j'obtiens :

Comment faire ?
-----

[JB2017]

Bonjour
Tu as démontré que la première inégalité est stricte. Et bien pour la deuxième inégalité c'est la même méthode.

[mehdi_128]

Salut JB par exemple :

ne s'annule que en donc :

donc par passage à l'intégrale on a le résultat.

Il suffit qu'il y ait un point de l'intervalle où l'inégalité est stricte pour avoir l'inégalité stricte des intégrales c'est ça ?

[gg0]

Pas vraiment !

Les fonctions f et g définies sur [0,1] par f(x)=1 et par g(0)=0 et g(x)=1 si x>0 ont la même intégrale sur [0,1]. Avec l'intégrale de Lebesgue, des fonctions peuvent même avoir une infinité de valeurs différentes et des intégrales égales.
Par contre, si f et g sont continues sur un intervalle I, avec sur I, et si en une valeur x₀ de I on a f(x₀)<g(x₀) alors :
.
Comme c'est une question typique d'oral de Capes, tu as intérêt à trouver la preuve tout seul.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Salut Ggo !

Merci pour la précision

Dans mon cas j'ai donc une infinité de valeurs tel que vu que ça marche
J'ai oublié la continuité...

En fait comme j'ai décidé d'arrêter avec l'autre livre truffé d'erreurs et qui m'a embrouillé dans tous les sens, j'ai commencé le sujet du CAPES maths 1 2018 et c'était la question 6. Mais ce théorème je l'ai pas encore vu :/ Du coup je pense que ce soit pas une bonne idée de continuer le sujet. Même si j'ai réussi 5 questions sur 6, le reste étaient des questions sur les suites adjacentes et je suis à l'aise avec les suites et les calculs.

Demain je vais recevoir mon nouveau livre, j'espère que je ferai des vrais maths maintenant :

[Tryss2]

Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer !

Tu dois être capable de montrer le théorème suivant :

Soient f et g continues de [0,1] dans R vérifiant :
1)
2)

Alors

[mehdi_128]

@Tryss

Je n'ai pas encore revu le chapitre Intégration de MPSI, je vois pas du tout comment partir.

[Tryss2]

Y'a pas besoin de savoir plus sur l'intégrale que ce qu'on sait déjà en terminale.

Par contre, connaitre la définition de la continuité en un point est fondamental.


Aussi, astuce très utile en mathématiques : montrer que a < b, ou montrer que b-a > 0, c'est la même chose

[mehdi_128]

Ok je me lance alors !

Soient f et g continues de [0,1] dans R vérifiant :
1)
2)

Il faut montrer que :


Or :

Là je vois pas trop.

[gg0]

Tu intègres une fonction positive, pour qu'elle soit strictement positive (fais un dessin), il suffit qu'elle soit "pas nulle" sur un petit intervalle au moins, ce que tu peux assurer avec la continuité et la stricte positivité en x0.

[mehdi_128]

Tu intègres une fonction positive, pour qu'elle soit strictement positive (fais un dessin), il suffit qu'elle soit "pas nulle" sur un petit intervalle au moins, ce que tu peux assurer avec la continuité et la stricte positivité en x0.

Oui mais il faut le démontrer formellement et je vois pas comment débuter la démo

[gg0]

Tu ne connais pas la définition de "f est continue en x0" ?
C'est ma dernière indication, tu dois te forcer à trouver seul ces preuves élémentaires et à les rédiger toi-même.

[JB2017]

"Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer"

Ben le problème c'est que la démo je lui ai donnée sur autre forum!!!

medhi pose beaucoup de questions ici et là. Je ne comprends pas du tout sa démarche.

Pourquoi dire qu'il ne l'a pas vue.

[mehdi_128]

"Mais y'a pas besoin d'avoir vu ce théorème pour le démontrer"

Ben le problème c'est que la démo je lui ai donnée sur autre forum!!!

medhi pose beaucoup de questions ici et là. Je ne comprends pas du tout sa démarche.

Pourquoi dire qu'il ne l'a pas vue.

J'ai pas compris la démo sur l'autre forum, les notations sont bizarres je les ai jamais vu.

Sinon f est continue en si :

[gg0]

Donc, sur , on a .
Et comme , en choisissant bien on obtiendra ce qu'on veut.

[shaams]

. Et comme , en choisissant bien on obtiendra ce qu'on veut.

Ce n'est pas plutôt ?

[gg0]

Oui, merci, c'est .

Cordialement.

[JB2017]

Bizarre je veux bien mais tout de même.

H: f continue sur [a,b] tel que

alors
C:

En effet,
la continuité de f en , implique qu'il existe tel que


Posons . Evidemment
et sur [a,b], on a ($\chi_J(x)=1$ si $x\in J )=0$ sinon)

D'où

[mehdi_128]

Je comprends pas c'est quoi khi et c'est quoi Mes(J)

[ansset]

y'a peut être plus simple.
est tj <0 sauf en 0 et 1 pour n non nul
en effet

qu'on peut écrire.


g' est strictement négative, sauf en 0 où elle est nulle
g(0)=0 et g(1)=-1
donc g est <0 sauf en 0 ou elle est nulle.
par ailleurs
sauf en 0 et 1 où elle est nulle.

donc f(t) est strictement négative sauf en 0 et 1 où elle est nulle.

ce qui n'empêche que la démo via la continuité est enrichissante pour bien maitriser ce point ( sur lequel travaille Mehdi en ce moment )
donc ne se substitue pas à l'autre réflexion.

[gg0]

Mehdi,

arrête de vouloir comprendre les preuves des autres en regardant ligne par ligne. Construis ta propre preuve avec les indications qu'on te donne. car tu passes plus de temps à demander qu'à vraiment penser.
Et une fois que tu auras faot ça, tu comprendras sans doute une partie de la preuve de JB2017, compliquée par ses notations inutiles.
Au fait : Tu ne lis même pas sérieusement, khi est définie dans le texte !!!

[ansset]

faute de frappe :

sauf en 0 et 1 où elle est nulle.

en 1 uniquement bien sur.

[mehdi_128]

C'était simple en fait

On a :

:

Or : alors on peut prendre

On a alors :

Donc : par positivité de l"intégrale.

Or et

Finalement :

[JB2017]

Oui gg0 a raison mes notations sont inutiles (j'ai simplement voulu englober le cas x_0=a ou x_0=b) mais néanmoins la démo est là.
Tu aurais pu demander des explications pour ce que veut dire $$\chi_J$$ (c'est une notation asse standard pour fonction caractéristique ou indicatrice de J fonction qui vaut 1 quand x est dans J 0 sinon).
Et mes(J) c'est la mesure de J, c'est à dire sa longueur.
Ta démo ça ne vas pas du tout. Car f(x) est supérieur f(x_0)>2 seulement sur un voisinage de x_0 (c'est à dire sur un intervalle J=[x_0-\eta,x_0+\eta] )
si x_0 est à l'intérieur de [a,b] on choisit \eta assez petit pour que J soit inclus dans [a,b]. Revois ta démo avec les indications que je te donne ici.

[mehdi_128]

Salut JB

:

Or : alors on peut prendre

Soit et petit tel que

Donc : par positivité de l"intégrale.

Sur on a :

Or

Donc : d'après la relation de Chasles

Mais :

Les deux autres intégrales sont positives par positivité de f sur [a,b]

Finalement :