Déterminer toutes les ondes planes

[Livetrack]

Bonjour,

Je suis sur un exo de résolution d'équation différentielle partielle, et je bloque dessus alors que je le pensais plutôt simple.
Etant donné l'équation dans R^3

Trouver toutes les solutions de la forme où est un vecteur de R^3 et le produit scalaire.

Je me doute que les fonctions cos(kx-ct) et sin(kx-ct) sont solutions de l'équation. Mais j'ai essayé de la résoudre en réinjectant la fonction et j'aboutit à :

. Du coup j'aboutit à soit le vecteur k est de norme 1, soit la fonction est affine.

Comment trouver toutes les solutions ?
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[Resartus]

Bonjour,
Votre calcul est juste. Avec cette écriture les fonctions phi qui répondent à la question sont celles pour lesquelles |k|=1.

Mais l'erreur est de supposer que ces fonctions seraient de la forme cos(kx-ct) et sin(kx-ct). (qui au passage n'est pas homogène, car le terme sous le cosinus est une longueur.
En fait, les fonctions sinusoidales répondant à la question sont les sommes de cos((k.x-ct)/a) et sin((k.x-ct)/a) avec un a quelconque homogène à une longueur (qui va être la longueur d'onde),

[Livetrack]

Merci pour votre réponse.

Est-ce que cela laisse supposer que je doive passer par une sorte de Série/Transformée de Fourier ?

[Resartus]

Bonjour,
Ce qu'on constate c'est que TOUTES les fonctions phi (kx-ct) satisfont l'équation, pourvu que |k|=1.
Ensuite, vous pouvez si vous le souhaitez exprimer ces fonctions sur une base quelconque, et pourquoi pas la transformation de fourier (ce qui est pratique chaque fois qu'on a des équations différentielles linéaires), mais rien ne semble imposé par l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]