Bonsoir,
Je voulais savoir, comment fait-on pour déterminer les valeurs propres d'une matrice qui est non inversible ( det(M) = 0 ) ?
Pour les matrices (2,2) c'est simple car si une des valeurs propres est égale à 0 et que t1+t2 = Trace de M, on trouve la deuxième facilement.
Mais je ne trouve pas comment faire pour une matrice (3,3) ou (4,4) ou autre.
Merci d'avance !
Bonjour,
Si la forme de la matrice ne permet pas de déterminer de façon simple son rang, il faut calculer le polynôme caractéristique.
Vous avez un exemple en tête ?
Not only is it not right, it's not even wrong!
Oui c'est une façon mais ma professeure a dit en cours qu'il y avait une façon de déterminer les valeurs propres d'une matrice non inversible sans calculs. Et j'ai regardé les exercices et dans un on a bien une question "Sans calcul, que valent les valeurs propres de B ?" et B est une matrice non inversible.
B = 0 5/2 7/2
0 −5 1
0 0 −4
Et le polynôme caractéristique est du 3è ordre et le 3è ordre n'est pas au programme donc je doute que cela puisse aider.
Bonsoir
La matrice B est triangle (tous ses termes en bas à gauche de sa diagonale sont nuls), ce qui suggère que les termes de sa diagonale sont ses valeurs propres, racines de son polynôme caractéristique.
Si l'on ne s'est pas immédiatement aperçu de cette particularité, on peut toujours mener le calcul :
det(B−λ.I) = (0−λ).(−5−λ).(−4−λ)
dont les racines apparaissent de manière évidente sous cette forme factorisée : λ=0, λ=−5 et λ=−4
Si vous ne saviez pas que les valeurs propres d'une matrice triangulaire supérieure sont sur la diagonale vous pouvez quand même calculer le polynome caractéristique et voir qu'il est simple, avec des racines "évidentes" (0 par exemple, ce qui vous laisse ensuite avec un trinôme du second degré que vous savez gérer).Envoyé par diamondtw
Not only is it not right, it's not even wrong!
Merci beaucoup pour vos réponses. Nous n'avons pas vu en cours que les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont sur la diagonale. Mais merci en tout cas !
