Bonjour, j'aimerais trouver le nombre de solution de l'équation x^5 = 1 dans Z/75Z
on a déjà 1 comme solution évidente de l'équation et on cherche le reste dans le groupe multiplicatif (Z/75Z)*
2
on a (Z/75Z)* qui est isomorphe à (Z/5²Z)*x(Z/3Z* qui est isomorphe à (Z/5*(5-1))x(Z/2Z) = (Z/20)x(Z/2Z)
On cherche (a,b) appartenant à (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+), on a ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) = 5 car on cherche les élément d'ordre 5
or 5 divise 20 mais pas 3
On peut factoriser Z/20Z additif...
En quoi le fait (indéniable) que 5 ne divise pas 3 importe? Ou, autre grammaire, que 3 ne divise pas 20?
Dernière modification par Amanuensis ; 11/12/2018 à 13h35.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Car on doit avoir ord(a) divisant 20 et ord(b) divisant 2 si on cherche (a,b) dans (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+) et ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) aurait pour ordre maximum ppcm(20,2) = 20 dans (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+)
Nan, on veut ord(a) et ord(b) divisant 5.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Si ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) = 5 alors (ord(a),ord(b)) ∈ {(1,5), (5,1),(5,5)} et on aura au final que 4 solutions en tout à l'équation x^5 = 1 dans Z/75Z et je dois en trouver 5.
Et quelles sont ces solutions?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
On me demande pas de les déterminer, on me demande juste le nombre de solutions de cette équation dans Z/75Z
pour les déterminer, il faudrait trouver les antécédent par:
Ψ: (Z/75Z)* -----> (Z/3Z)* x (Z/25Z)*
â -----> à x ä
avec à = a + 3Z et ä = a + 25Z avec
l'élément vérifiant x^5 = 1 dans Z/3Z est 1 et les éléments vérifiant cette équation dans Z/25Z sont 1, 6, 11, 16, 21
donc on doit chercher les antécédent de (1,1); (1,6); (1,11); (1,16); (1,21) ce qui fait 5 solutions en tout?
