Congruence & Groupe
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Congruence & Groupe



  1. #1
    Koril

    Congruence & Groupe


    ------

    Bonjour, j'aimerais trouver le nombre de solution de l'équation x^5 = 1 dans Z/75Z


    on a déjà 1 comme solution évidente de l'équation et on cherche le reste dans le groupe multiplicatif (Z/75Z)*
    2
    on a (Z/75Z)* qui est isomorphe à (Z/5²Z)*x(Z/3Z* qui est isomorphe à (Z/5*(5-1))x(Z/2Z) = (Z/20)x(Z/2Z)

    On cherche (a,b) appartenant à (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+), on a ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) = 5 car on cherche les élément d'ordre 5
    or 5 divise 20 mais pas 3

    -----

  2. #2
    Amanuensis

    Re : Congruence & Groupe

    On peut factoriser Z/20Z additif...

    En quoi le fait (indéniable) que 5 ne divise pas 3 importe? Ou, autre grammaire, que 3 ne divise pas 20?
    Dernière modification par Amanuensis ; 11/12/2018 à 13h35.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  3. #3
    Koril

    Re : Congruence & Groupe

    Car on doit avoir ord(a) divisant 20 et ord(b) divisant 2 si on cherche (a,b) dans (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+) et ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) aurait pour ordre maximum ppcm(20,2) = 20 dans (Z/20Z,+)x(Z/2Z,+)

  4. #4
    Amanuensis

    Re : Congruence & Groupe

    Nan, on veut ord(a) et ord(b) divisant 5.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Koril

    Re : Congruence & Groupe

    Si ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b)) = 5 alors (ord(a),ord(b)) ∈ {(1,5), (5,1),(5,5)} et on aura au final que 4 solutions en tout à l'équation x^5 = 1 dans Z/75Z et je dois en trouver 5.

  7. #6
    Amanuensis

    Re : Congruence & Groupe

    Et quelles sont ces solutions?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  8. #7
    Koril

    Re : Congruence & Groupe

    On me demande pas de les déterminer, on me demande juste le nombre de solutions de cette équation dans Z/75Z

    pour les déterminer, il faudrait trouver les antécédent par:

    Ψ: (Z/75Z)* -----> (Z/3Z)* x (Z/25Z)*
    â -----> à x ä
    avec à = a + 3Z et ä = a + 25Z avec
    l'élément vérifiant x^5 = 1 dans Z/3Z est 1 et les éléments vérifiant cette équation dans Z/25Z sont 1, 6, 11, 16, 21

    donc on doit chercher les antécédent de (1,1); (1,6); (1,11); (1,16); (1,21) ce qui fait 5 solutions en tout?

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