[Stats] Maximum de vraisemblance avec 2 différentes PDFs

[coussin]

Bonjour à tous

Pour simplifier, je suis en 1D. J'ai à ma disposition un ensemble de données aléatoires Xn. Je veux fitter une PDF à ces données en faisant une analyse "maximum de vraisemblance".
J'ai 2 PDFs différentes. Les 2 ne dépendent que d'un paramètre p. C'est donc ce paramètre p que je vais estimer.
Je prends ma première PDF, je fais le max likelihood qui me donne une estimation p0. Bien.
Je refais la même chose avec ma deuxième PDF. Ça me donne la même valeur p0.
La différence entre les deux PDFs est que dans un cas la courbe vraisemblance en fonction de p est beaucoup plus piquée autour de p=p0 que dans l'autre cas.
Dans les 2 cas, l'estimation me donne p0.
Mais que signifie le fait que la courbe de vraisemblance soit plus ou moins piquée autour de p0 ? S'agit-il d'une estimation de la variance de p0 ?
Puis-je dire que avec une PDF, j'estime p=p0±∆1p0 et avec l'autre PDF, j'estime p=p0±∆2p0 ?

Merci d'avance
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[minushabens]

Tu devrais chercher du côté de l'information de Fisher.

[coussin]

Tu devrais chercher du côté de l'information de Fisher.

Oui, je connais...
En fait ma question est lié aussi à la normalité asymptotique du maximum de vraisemblance. Est-ce correcte de dire que cela veut dire que les courbes de vraisemblance tendent vers des gaussiennes. Auquel cas, on peut définir, pour ces courbes de vraisemblance, une moyenne, un écart-type, etc...

[coussin]

Au fur et à mesure, j'affine ma question : quand on parle d'information de Fischer, etc... on discute par exemple la variance de la fonction de vraisemblance. Pour moi, c'est donner à la fonction de vraisemblance un statut de PDF, ce qui n'est pas évident...
Dans quel cas peut-on traiter la fonction de vraisemblance comme une densité de probabilité pour le paramètre à estimer ? Est-ce une propriété asymptotique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Au fur et à mesure, j'affine ma question : quand on parle d'information de Fischer, etc... on discute par exemple la variance de la fonction de vraisemblance.

la variance de l'estimateur du maximum de vraisemblance, pas de la fonction de vraisemblance.

[coussin]

la variance de l'estimateur du maximum de vraisemblance, pas de la fonction de vraisemblance.

D'accord. Pour l'instant, je ne comprends pas vraiment ce que ça veut dire... Je vais y réfléchir.
Je me demande si mon questionnement n'a pas à voir avec ce petit paragraphe trouvé dans Wikipédia : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Like...eterized_model
Je me demande si on peut interpréter une fonction de vraisemblance comme une PDF et ainsi "faire des statistiques" sur les paramètres estimés...

Tout ça est un peu confus... Je visualise bien la différence entre des fonctions de vraisemblance plus ou moins piquées et le lien avec information de Fischer, borne de Cramer-Rao, etc... Mais en creusant un peu plus, des trucs m'échappe...

[coussin]

Par exemple, considérons le processus de mon message #1 :
(Je tire N variables aléatoires Xn, je fais mon analyse et en tire le paramètre thêta correspondant à la vraisemblance max).
Maintenant, je peux répéter ce processus plein de fois. Ça me donnera une liste de theta_n.
Sur cet échantillon theta_n, je peux faire des stats : en tirer une PDF en faisant un histogramme, calculer une valeur moyenne, une variance, etc...
Mais ce processus est différent de celui qui consiste à traiter une courbe de vraisemblance comme une PDF, on est d'accord ?

[minushabens]

La vraisemblance est une fonction de deux variables l(x,p) où x est l'observation et p le paramètre. Pour p fixé c'est une densité de probabilité mais pour x fixé elle ne l'est pas. C'est juste une fonction positive. Si tu veux faire apparaître une loi du paramètre p il te faut adopter le formalisme bayesien.

[coussin]

Oui, je suis d'accord.
Merci pour vos réponses