f et g différentiables sur un ouvert Omega de R^n avec Im g inclus dans Im f - Déformation de Omega

[shinishi]

Bonjour à tous,

Je travaille sur un problème un peu ardu auquel toutes mes initiatives ont mené à une impasse.
Je vous explique.

On considère ici un ouvert , ainsi que deux fonctions et définies sur à valeurs dans telles que . Quitte à les convoler par des distributions, on supposera également qu'elles sont de classe . Même sans cette dernière condition, nous pouvons montrer que, comme , on peut construire une fonction telle que



Ce que je cherche à démontrer, c'est qu'en supposant que est borné, il existe une fonction au moins différentiable (peut être meme de classe qui satisfait sur . Cette hypothèse bornée me semble nécessaire car la composition pourrait ramener dans des valeurs renvoyées par à l'infini si on impose pas de bornes. Pour tout dire, je ne sais pas si cette proposition est vraie, donc un simple contre-exemple m'irait tout aussi bien.

J'avais eu plusieurs idées dont une se ramenait à une méthode de Newton. On part d'une fonction différentiable (par exemple la fonction partout nulle) et on construit une suite qui convergerait vers une solution au problème. En réalisant une petite analyse, on a


En s'appuyant sur cela, on détermine en minimisant


L'utilisation de la norme sur me paraît essentielle pour garder la convergence uniforme et donc, la régularité de la des fonctions de la suite.
De plus, comme les fonctions continuement différentiables une infinité de fois, sont denses dans l'ensemble des fonctions, une telle suite convergerait dans l'ensemble des fonctions et la norme infinie me permettrait de conclure. Ainsi, ce nouveau problème serait équivalent au premier.

Dans tous les cas, votre aide ne pourrait m'être que très précieuse.
je vous remercie dejà d'avoir pris le temps de lire un gros pavé .

shinishi
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[azizovsky]

...déformation...

Bonjour, regarde du côté de l'homotopie (rétraction) :https://fr.wikipedia.org/wiki/Homotopie

https://fr.wikipedia.org/wiki/Homoto...iki/Rétraction

[shinishi]

Merci. je vais regarder ça attentivement.

[shinishi]

Bonsoir tout le monde,

bon j'ai continué mes recherches et je me suis notamment penché sur les homotopies comme vous m'aviez conseillé azizovsky. Je dois admettre que ces notions de topologie sont très pointues pour mes compétences, et bien qu'intéressantes, je ne dispose pas d'assez de temps pour m'y mettre complètement pour le moment.

Pour autant, j'ai tenté d'aborder le problème par les homotopies sans grand succès. Exprimer la fonction u qui représente la déformation du plan n'est pas aisément exprimable par les homotopies dans le sens où si l'on considère que l'évolution du paramètre t correspond à suivre un lacet dans R, il s'agit d'exprimer à partir de la dérivée partielle de H pour la variable t une direction dans R^2 correspondant à l'évolution du lacet dans l'espace. Je n'ai pas pu trouver des masses d'informations sur les espaces rétractiles et les rétractions, toutefois une autre option (qui rejoint un peu l'idée de l'homotopie) m'est apparue en utilisant judicieusement le théorème des fonctions implicites sur la fonction h(x,y) = f(y) - g(x). Si je peux déterminer une famille dénombrable d'ouverts sur lesquels on trouve y = phi(x), et si je peux recoller les ouverts comme pour les fibrations en conservant le fait que f coincide avec g, alors c'est gagné. Mais cela pose plusieurs questions tout de même, suis-je capable de trouver un tel recouvrement, est-ce que je peux isoler les zones sur lesquelles la différentielle n'est pas inversible et est-ce que je peux recoller les ouverts en conservant la compatibilité ?

n'hésitez pas si des idées vous viennent, je suis ouvert à tout conseil car je sèche completement.
Merci par avance.

shinishi

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Avant que je te propose l'homotopie , j'ai pensé aux fonctions implicites, mais ici tu travaille sur l'ensemble d'arrivée seulement ({g(x) }dans {f(x)} =y), phi(y)=x, f(phi(y))=g(x) , or tu cherche f(u(x))=g(x), u(x)=x car tu pose f(x)=g(x) sur un domaine d'arrivé ....

[azizovsky]

Une idée, f comme homéomorphisme, comme ici https://youtu.be/q8z0KZwOLr8?t=583 (...du temps pour la retrouver)