probabilités et taux de risque

[latrous98]

bonjour

j'ai un exercice qui me pose des problèmes et je pense que le fait de déterminer la loi me permet de résoudre une grande partie

voici l’énonce
Un avion est considéré comme fiable si son taux d’accident mortel λ (probabilité d’accident mortel/heure de vol) est inférieur à 0.000001. Concorde s’est écrasé au bout de 100 000
heures de vol tuant tous ses passagers et membres d’équipage en 2001. 1er accident mortel pour cet avion.
 Déterminez la distribution de probabilité de λ
 Traduisez mathématiquement : Concorde est fiable
 Calculez la probabilité que Concorde était fiable. Pensez au changement de variable u=1-x pour simplifier les calculs. Vous donnerez une estimation de λ telle que calculée par un logiciel de calcul formel ou vous ferez un développement limité de l’expression mathématique précédemment donnée.

aviez vous amabilité de m’aider pour trouver la loi
j'ai penser par la suite à appliquer la loi de bayes pour exprimer la fiabilité et c'est pour quoi je bloque dans la premiere partie
Mercie en avance
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[gg0]

C'est vraiment "la distribution de probabilité de λ" ??
λ est à priori une valeur déterministe, même si inconnue. d'ailleurs on en cherche une estimation; on n'estime pas une variable aléatoire (quelle serait l'estimation du jet d'un dé ?).

Cordialement.

[latrous98]

j'ai pensé à ça moi aussi mais avec des recherche un peux avancé j'ai trouve que lambda est une valeur obtenu par une forme conditionnelle de la densité de probabilité
mais supposant que lamda prends des valeur différentes quel serai la loi suivi par une autre variable qui dépend de lambda je pense car par la suite je pense que je dois chercher P(lambda <0.000001 | événement de 2001 c'est déroulé ) donc il faut formaliser l’événement avec cette variable aléatoire ( je pense que cette variable est le temps de marche de la concorde mais je ne suis pas certaine de ça )
et autre chose j'ai pensé à la loi exponentielle mais apres j'ai vu qu'elle n'a pas de memoire pour tenir compte de l'historique de la concorde

[latrous98]

j'ai chercher à trouver la distribution qui caracterise la fiabilité
dans ce site quelque definition que peu etre notre prof à supposé comme connu
https://www.weibull.com/hotwire/issu...Tci80c1OCSnUNo
je pense que si j'arrive a resoudre l'equation differentielle je peux trouver la forme de la distribution
merci d'avance pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[latrous98]

rebonjour
si je suppose que f(t) est exponentielle y''a t'il une chance de resoudre cette equation differentielle dans ce site
avec f(t)=
ou est ce que l'exercice ne neciste pas l'ajout d'un tel nombre de variables

[invite51d17075]

cela semble être le bon lien.
mais quelle equa-diff parles-tu ( celle de f(t) , ici f(h) , heures de vols ? ) ?
il faut déjà l'exprimer.

[latrous98]

oui voilà l'objectif est de trouver la densité de probabilité qui est enfonction des heures de voles
aviez vous une idée de comment faire pour l'exprimer

[invite51d17075]

désolé , je n'avais pas vu ton post #5, et répondu au 4.
je pense qu'il y a tout dans le lien.
je regarderais cela , mais j'ai un coup de mou là ( fièvre )

ps: f(t) n'est certainement pas une simple exponentielle !

[latrous98]

si je veux penser autrement est ce possible de dire que lambda suit une loi binomiale B( nombre d'heures de voles ,lambda )
et est ce que le format de lambda probabilité par heur de vole permet ce raisonnement ?
merci beaucoup et je vous souhaite un prompte rétablissement

[latrous98]

je suis plus sur cette fois si je pense que f est une loi log-normale car Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants ( ce qui est logiquement le cas pour un avion )
mais reste à trouver ses paramétres en fonction des données
mais j'hesite encore cas l'exercice à l'air de mobiliser des données simplistes
vous pensez quoi de ça ?

[latrous98]

je pense à une loi de gamma qui represente la somme de 2 variables exp
et puis on dit que pour la faibilité je plante encore plus
pouviez vous me donner des idées
ps : pour le choix de la loi j'ai troué ça

[latrous98]

en ce qui concerne le calcul de lambda je pense que dans ce cas je dois passer par le calcul de p(X>100000) et partir avec l’intégrale d'une fonction de répartition correspondant à l'expression que vous m’avivez communiquer dans ce message
est ce que mon rayonnement est juste en se basant su votre fonction de répartition et est ce que je dois procédé comme j'ai expliquer pour trouver la valeur de lambda
c'est mon raisonnement
Si on suppose que c'est une loi exponentielle mais que c'est la durée de vie ( temps avant le prochain accident ) la suit
c-a-d T ~E(lambda) et que lambda a une valeur fixe qu'on cherche à estimer
est ce que je peux écrire
que la probabilité que concorde est fiable est
P(lambda <0.000001|T>100 000)
et puis j'applique le th de bayes
je retrouve que P(lambda <0.000001)
donc du moment qu'on ignore la valeur on maximise l'entropie (alors je pose qu'elle suit une loi uniforme )et pour la trouver on fait l'intégrale de-infini vers 0.000001 de ( 1 1I [0,1]) {je ne suis pas sur de cette expression}
et il reste P(T>100 000|lambda <0.000001) et je pense pour calculer celle-ci je fait l'intégrale de 100 000 vers + infini de ( l'intégrale de-infini vers 0.000001 de ( lambda exp(lambda* t )d lambda ) dt
et pour estimer la valeur de lambda j'ai pas d'idées honnêtement
pouviez vous confirmer si c'est juste
tout commentaire est la bien venu

[latrous98]

si je prends l’expression f(h)=1-exp(-lambda*h) ( h pour heure) est ce que c'est la densité de probabilité ou est ce la fonction de répartition ?

[invite51d17075]

si je prends l’expression f(h)=1-exp(-lambda*h) ( h pour heure) est ce que c'est la densité de probabilité ou est ce la fonction de répartition ?

ça, c'est la fct de répartition tirée de ton lien que tu semblais présenter comme une base de travail avalisée par ton prof.(*)
ceci dit, la loi de poisson me semble à la réflexion plus adaptée.
donc ne pas mélanger les deux.
pour le reste, j'ai du mal à comprendre ton raisonnement concernant la probabilité.

(*)tu évoques sans le dire nos échanges MP , ce qui peut semer à confusion.

[latrous98]

j'ai pensé à adopter votre fonction m'ai j'ai utliser la formé géneralise de la loi exponentielle qui est lambda exp( -lambda h)
mais si le f(h) est la fonction de densité de probabilité alors on parle de la méme chose ( la votre est la fonction de répartition si je ne dis pas de bêtises
sinon en ce qui conserne le raisonnement de probabilité j'ai essayer de traduire mathématiquement ce qui a éte ecrit et je pense que dois plutôt formuler la probabilité avec un dh et dans ce cas j'aurais une expression comme ça
P(h<H<h+dh)=P(h<H<h+dh) ( j'ai trouver que H est le temps ou il tombe en panne )
et je pense que apres je vais utiliser le developement imité de exp de la fonction de repartition que vous m'avierz proposer qui vas me permettre d'estiemer l'inverse de lambda comme ce qu 'est expliquer dans ce site
P(h<H<h+dh)
https://www.livingreliability.com/en...s-hazard-rate/
pouviez vous m'aider à faire le lien entre la condition fournis dans l'enonce "Un avion est considéré comme fiable si son taux d’accident mortel λ (probabilité d’accident mortel/heure de vol) est inférieur à 0.000001" avec une expression similaire à celle sité dans le site

[invite51d17075]

j'ai du mal à suivre.
l'impression d'un mélange de modèles différents.

[latrous98]

c'est un seul modéle mais on ne connais pas lambda donc on trouve une valeur qui dépend de lambda et on l'estime pour terminer le calcul
et donc on va certainement utiliser un probilité conditionnelle
et comment vous me propser de traduire le fiabilité en probabilités

[latrous98]

pourquoi l'expression P(lambda <0.000001|T>100 000) ne me permet pas de trauire la fiabilité et que je dois chercher une expression P(h<H<h+dh|H>h) et que je dois passer par une fonction de fiabilité ?
si la deuxiéme méthode est meilleur veillez s'il vous plait m'exliquer pourquoi et comment est ce que raisonner en terme de lambda

[latrous98]

https://www.mathpages.com/home/kmath498/kmath498.htm
est ce que si je tient compte de la valeur 100000 heures et donc la fonction de repatition de vient exp(-lambda*1000000)-exp(-lambda*ht)
comme si j'ai tenu compte du FAIT que je considére que l'evenement s'est déroulé

[latrous98]

bonsoir encore une fois joyeux noel en avance
est ce que quelqu'un a l'amaibalité de me dire qu'est ce qui est faut dans ce raisonnement cap.JPG
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merci d'avance le temps presse
ps : la deadline est pour minuit