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Symétrie




  1. #1
    mehdi_128

    Symétrie

    Bonsoir,

    Soit et

    En utilisant les 2 propriétés ci dessous, montrer que si alors le graphe de admet comme centre de symétrie.

    1/ Le graphe de la fonction se déduit de celui de par la symétrie par rapport à
    2/ Le graphe et le domaine de définition de se déduit de celui de par la symétrie par rapport à la droite d'équation


    En fait j'ai réussi à démontrer le résultat mais sans utiliser les propositions 1 et 2, en prenant un point et en prouvant que son image par cette symétrie centrale appartient aussi au graphe de .

    Mais je n'arrive pas à voir comment le démontrer en utilisant les 2 propositions ci-dessus.

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    ansset

    Re : Symétrie

    d'une part, ta démo ( que tu ne précise pas ) est insuffisante ( image d'une fct correspondante ne signifie pas symétrie )
    quand au deux propriétés , elles sont nécessaires.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Ok je vous poste ma démo :

    sy.jpg


  5. #4
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    @Ansset pourriez vous m'expliquer comment vous utiliser les 2 propriétés pour montrer le résultat ?

  6. #5
    ansset

    Re : Symétrie

    l'exercice suggère l'approche suivante.
    chacune des propriétés permet de montrer que le graphe est symétrique / chaque axe.
    l'axe x=a/2 et l'axe y=0
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Si je prends :

    alors se déduit de par la symétrie d'axe

    Si je prends :

    alors se déduit de par la symétrie d'axe

    Conclusion : se déduit de par la symétrie d'axe et la la symétrie d'axe

    Et là je bloque

  9. #7
    ansset

    Re : Symétrie

    reprenons ( en x pour commencer) :
    une fct v est symétrique / axe x=b si
    v(b-x)=v(b+x)
    ici la prop 2) indique que va est symétrique / droite x=a/2
    donc
    va(a/2-x)=va(a/2+x)
    en remplaçant en fct de f , on obtient
    va(a/2-x)=f(a-(a/2-x))=f(a/2+x)
    va(a/2+x)=f(a-(a/2+x)=f(a/2-x)
    donc f est symétrique / axe x=a/2

    et faire la même chose avec la première prop pour montrer la symétrie / y=0
    Dernière modification par ansset ; 04/01/2019 à 19h21.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  11. #8
    ansset

    Re : Symétrie

    oublie cela , y'a un truc qui va pas dans ma rédaction.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    J'ai compris votre raisonnement.

    Mais comment déduisez vous de la proposition 2 que est symétrique par rapport à l'axe ?

    On sait juste que le graphe se déduit du graphe par la symétrie d'axe

  13. #10
    ansset

    Re : Symétrie

    non, j'ai dit une énorme bétise avec les deux axes.
    je reprendrais proprement tout à l'heure.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    D'accord merci.

  15. #12
    ansset

    Re : Symétrie

    De fait, je trouve plus complexe d'utiliser les deux propriétés que de répondre directement.
    ( d'ailleurs , je me suis fourvoyé avec mes axes )
    une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si
    f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x) soit
    f(a'-x)+f(a'+x)=2b'
    donc ici on doit montrer que ( comme le centre doit être (a/2;0)
    f(a/2-x)+f(a/2+x)=2*0=0
    ici on sait que f(a-x)=-f(x)
    donc,
    f(a-(a/2-x)) =-f(a/2-x) soit
    f(a/2+x)+f(a/2-x)=0
    ce que l'on cherchait.
    à dire vrai , j'ai un doute sur l'interprétation de "se déduit de" dans chaque proposition,
    et la démo directe me semble plus simple.

    et encore une fois il faut oublier mon histoire de symétrie sur les deux axes.
    Dernière modification par ansset ; 04/01/2019 à 21h00.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #13
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Ah d'accord merci Ansset oui je suis d'accord avec vous la démo directe est plus facile et intuitive, donc la remarque du livre est étrange, mais peut être qu'elle renvoyait à la méthode de démonstration de ces 2 propriétés qui est similaire.

    Mais j'aurais fait plutôt comme ça :
    Soit et l'image de M par la symétrie de centre
    En effet, est centre de symétrie si et seulement si :

    ce qui donne en coordonnées :

    et

    Je connaissais pas cette propriété : "une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x)"

  17. #14
    ansset

    Re : Symétrie

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Je connaissais pas cette propriété : "une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x)"
    en fait on l'écrit plus souvent directement :
    f(a'+x)+f(a'-x)=2b mais c'est pas très intuitif.
    c'est pourquoi je l'ai écrite différemment au départ , car voit mieux cette égalité sur un graphe de courbe symétrique / un point.

    ps; pas lu le reste de ton message.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    ansset

    Re : Symétrie

    OK, vu ton message, c'est correct mais tu ne conclus pas !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #16
    ansset

    Re : Symétrie

    heu ! non, faute de frappe :
    y' - y = 2 (b'-y)
    Dernière modification par ansset ; 04/01/2019 à 22h49.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Ansset j'ai retrouvé votre formule dans un cours de lycée
    Merci pour la correction de mon erreur d'étourderie !

    Soit et l'image de M par la symétrie de centre
    En effet, est centre de symétrie si et seulement si :

    ce qui donne en coordonnées :

    et

    Ici on a : et

    Ce qui donne : et

    D'où : et

    Or ce qui veut dire que

    Ce qui prouve le résultat

  21. #18
    azizovsky

    Re : Symétrie

    C'est comme avoir un marteau et un burin et tu'as utilisé un marteau-piqueur qui n'existe pas dans les outils de travail ....

  22. #19
    mehdi_128

    Re : Symétrie



    Azizovsky sauriez vous démontrer le résultat en utilisant les 2 propriétés ?

  23. #20
    gg0

    Re : Symétrie

    Bien sûr qu'il sait faire !

    La preuve utilise une fonction auxiliaire et le fait que la composée de deux symétries (orthogonales) d'axes deux perpendiculaires est une symétrie centrale.
    Cet exercice est un exercice sur les symétries plus que sur les fonctions, et bien évidemment, la preuve directe est élémentaire par rapport à ce qui est demandé dans l’exercice.

  24. #21
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Bonjour,

    quelle fonction auxiliaire ?

    Ggo vous avez raison j'ai démontré au brouillon que la composée de ces 2 symétries orthogonale donne la symétrie centrale voulue ça marche très bien.

    Mais j'arrive pas à faire le lien avec les fonction u_a et v_a

  25. #22
    gg0

    Re : Symétrie

    Bonjour.

    "quelle fonction auxiliaire ?" Ben justement, une fonction qui correspond à un ua, de façon que vb soit à nouveau f. Fais un dessin et regarde.

  26. #23
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Je n'ai pas compris l'indication.

  27. #24
    gg0

    Re : Symétrie

    Par la première symétrie axiale, on tombe sur la courbe d'une certaine fonction, puis par la deuxième, on retombe sur celle de f. A partir des deux propriétés, il est facile de savoir quelles symétries utiliser.

    Mais c'est ton exercice, c'est à toi de chercher vraiment à comprendre. Surtout si tu comptes toujours passer le capes.

  28. #25
    mehdi_128

    Re : Symétrie

    Oui je compte passer le CAPES.

    Je dirais on commence par prendre :

    Donc se déduit de par rapport à la droite d'équation

    Ensuite on prend :

    J'ai se déduit de par la symétrie d'axe

    Et à ce stade je bloque

  29. #26
    gg0

    Re : Symétrie

    Quel gâchis !!

    Comme la symétrie centrale est le résultat de la composition des deux symétries, ce n'est pas deux fois à f qu'il faut appliquer les symétries.

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