Symétrie

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit et

En utilisant les 2 propriétés ci dessous, montrer que si alors le graphe de admet comme centre de symétrie.

1/ Le graphe de la fonction se déduit de celui de par la symétrie par rapport à
2/ Le graphe et le domaine de définition de se déduit de celui de par la symétrie par rapport à la droite d'équation

En fait j'ai réussi à démontrer le résultat mais sans utiliser les propositions 1 et 2, en prenant un point et en prouvant que son image par cette symétrie centrale appartient aussi au graphe de .

Mais je n'arrive pas à voir comment le démontrer en utilisant les 2 propositions ci-dessus.

Merci d'avance.
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[invite51d17075]

d'une part, ta démo ( que tu ne précise pas ) est insuffisante ( image d'une fct correspondante ne signifie pas symétrie )
quand au deux propriétés , elles sont nécessaires.

[mehdi_128]

Ok je vous poste ma démo :

[mehdi_128]

@Ansset pourriez vous m'expliquer comment vous utiliser les 2 propriétés pour montrer le résultat ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

l'exercice suggère l'approche suivante.
chacune des propriétés permet de montrer que le graphe est symétrique / chaque axe.
l'axe x=a/2 et l'axe y=0

[mehdi_128]

Si je prends :

alors se déduit de par la symétrie d'axe

Si je prends :

alors se déduit de par la symétrie d'axe

Conclusion : se déduit de par la symétrie d'axe et la la symétrie d'axe

Et là je bloque

[invite51d17075]

reprenons ( en x pour commencer) :
une fct v est symétrique / axe x=b si
v(b-x)=v(b+x)
ici la prop 2) indique que va est symétrique / droite x=a/2
donc
va(a/2-x)=va(a/2+x)
en remplaçant en fct de f , on obtient
va(a/2-x)=f(a-(a/2-x))=f(a/2+x)
va(a/2+x)=f(a-(a/2+x)=f(a/2-x)
donc f est symétrique / axe x=a/2

et faire la même chose avec la première prop pour montrer la symétrie / y=0

[invite51d17075]

oublie cela , y'a un truc qui va pas dans ma rédaction.

[mehdi_128]

J'ai compris votre raisonnement.

Mais comment déduisez vous de la proposition 2 que est symétrique par rapport à l'axe ?

On sait juste que le graphe se déduit du graphe par la symétrie d'axe

[invite51d17075]

non, j'ai dit une énorme bétise avec les deux axes.
je reprendrais proprement tout à l'heure.

[mehdi_128]

D'accord merci.

[invite51d17075]

De fait, je trouve plus complexe d'utiliser les deux propriétés que de répondre directement.
( d'ailleurs , je me suis fourvoyé avec mes axes )
une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si
f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x) soit
f(a'-x)+f(a'+x)=2b'
donc ici on doit montrer que ( comme le centre doit être (a/2;0)
f(a/2-x)+f(a/2+x)=2*0=0
ici on sait que f(a-x)=-f(x)
donc,
f(a-(a/2-x)) =-f(a/2-x) soit
f(a/2+x)+f(a/2-x)=0
ce que l'on cherchait.
à dire vrai , j'ai un doute sur l'interprétation de "se déduit de" dans chaque proposition,
et la démo directe me semble plus simple.

et encore une fois il faut oublier mon histoire de symétrie sur les deux axes.

[mehdi_128]

Ah d'accord merci Ansset oui je suis d'accord avec vous la démo directe est plus facile et intuitive, donc la remarque du livre est étrange, mais peut être qu'elle renvoyait à la méthode de démonstration de ces 2 propriétés qui est similaire.

Mais j'aurais fait plutôt comme ça :
Soit et l'image de M par la symétrie de centre
En effet, est centre de symétrie si et seulement si :

ce qui donne en coordonnées :

et

Je connaissais pas cette propriété : "une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x)"

[invite51d17075]

Je connaissais pas cette propriété : "une fonction f pour centre de symétrie (a',b') si f(a'-x)-b'=b'-f(a'+x)"

en fait on l'écrit plus souvent directement :
f(a'+x)+f(a'-x)=2b mais c'est pas très intuitif.
c'est pourquoi je l'ai écrite différemment au départ , car voit mieux cette égalité sur un graphe de courbe symétrique / un point.

ps; pas lu le reste de ton message.

[invite51d17075]

OK, vu ton message, c'est correct mais tu ne conclus pas !

[invite51d17075]

heu ! non, faute de frappe :
y' - y = 2 (b'-y)

[mehdi_128]

Ansset j'ai retrouvé votre formule dans un cours de lycée
Merci pour la correction de mon erreur d'étourderie !

Soit et l'image de M par la symétrie de centre
En effet, est centre de symétrie si et seulement si :

ce qui donne en coordonnées :

et

Ici on a : et

Ce qui donne : et

D'où : et

Or ce qui veut dire que

Ce qui prouve le résultat

[azizovsky]

C'est comme avoir un marteau et un burin et tu'as utilisé un marteau-piqueur qui n'existe pas dans les outils de travail ....

[mehdi_128]

Azizovsky sauriez vous démontrer le résultat en utilisant les 2 propriétés ?

[gg0]

Bien sûr qu'il sait faire !

La preuve utilise une fonction auxiliaire et le fait que la composée de deux symétries (orthogonales) d'axes deux perpendiculaires est une symétrie centrale.
Cet exercice est un exercice sur les symétries plus que sur les fonctions, et bien évidemment, la preuve directe est élémentaire par rapport à ce qui est demandé dans l’exercice.

[mehdi_128]

Bonjour,

quelle fonction auxiliaire ?

Ggo vous avez raison j'ai démontré au brouillon que la composée de ces 2 symétries orthogonale donne la symétrie centrale voulue ça marche très bien.

Mais j'arrive pas à faire le lien avec les fonction u_a et v_a

[gg0]

Bonjour.

"quelle fonction auxiliaire ?" Ben justement, une fonction qui correspond à un u_a, de façon que v_b soit à nouveau f. Fais un dessin et regarde.

[mehdi_128]

Je n'ai pas compris l'indication.

[gg0]

Par la première symétrie axiale, on tombe sur la courbe d'une certaine fonction, puis par la deuxième, on retombe sur celle de f. A partir des deux propriétés, il est facile de savoir quelles symétries utiliser.

Mais c'est ton exercice, c'est à toi de chercher vraiment à comprendre. Surtout si tu comptes toujours passer le capes.

[mehdi_128]

Oui je compte passer le CAPES.

Je dirais on commence par prendre :

Donc se déduit de par rapport à la droite d'équation

Ensuite on prend :

J'ai se déduit de par la symétrie d'axe

Et à ce stade je bloque

[gg0]

Quel gâchis !!

Comme la symétrie centrale est le résultat de la composition des deux symétries, ce n'est pas deux fois à f qu'il faut appliquer les symétries.