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  1. #1
    mehdi_128

    Groupe


    ------

    Bonjour,

    Je bloque sur la question V... Les autres j'ai tout réussi. J'ai toujours du mal avec les questions sur les groupes

    On considère l'ensemble formé des rotations du plan et des translations du plan. Montrer que est un groupe pour une loi que l'on précisera.

    Nom : groupe.png
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    -----

  2. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    comme je suppose que tu connais la définition, il te suffit de trouver la loi qui va bien.
    ( en t'aidant des questions précédentes )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    Bonjour.

    Les éléments de G étant des applications de (P) dans (P), trouver une loi qui convient est facile. Reste à montrer que cette loi est interne, et vérifie les trois propriétés. C'est essentiellement de la géométrie.

    Bon travail !

  4. #4
    mehdi_128

    Re : Groupe

    C'est la loi de composition des application.
    J'ai du mal à prouver qu'elle est interne.
    Soit un élément de G. Comment écrire tout élément de G ? J'aimerais utiliser la question III mais il me manque une chose.
    Il faut montrer que si on compose 2 éléments de G, cela reste un élément de G.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    Ben ... dans le II, tu as montré que tous les f considérés sont des rotations ou des translations. Si ce n'est pas fait dans le I, il suffit de montrer que les rotations et les translations sont des f considérés au II, puis on applique III.

    NB : Un grand secret : les éléments de G sont exactement ceux qui sont considérés au II.

  7. #6
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Je mets mon raisonnement dites moi si j'écris des bêtises :

    Tout élément de s'écrit sous la forme avec

    D'après la question III la composition de 2 éléments de G est une translation ou une rotation donc reste dans G, la loi est bien interne.

    La loi de composition des application est associative.
    Il existe un élément neutre qui est l'application identité qui à associe
    La translation admet un symétrique qui est
    La rotation admet un symétrique qui est son point fixe

    G est bien un groupe pour la loi de composition des applications.

  8. #7
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Correction le symétrique de la translation c'est f(z) = z- b

  9. #8
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Correction l'inverse pour la rotation est f(z)=(z-b)/a

  10. #9
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Que pensez vous de mon raisonnement ?

    Nom : Nouveau document 2019-04-07 09.00.37.jpg
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  11. #10
    minushabens

    Re : Groupe

    La question V est très mal posée, et juste pour punir celui ou celle qui l'a formulée, tu devrais lui proposer cette solution: il y a une bijection évidente entre G et une partie non dénombrable de RxRxRxRx]0,2pi[ donc G peut être mis en bijection avec R. Si phi est une telle bijection tu peux définir une loi * sur G en prenant, pour s,t dans G s*t=phi(s)+phi(t), ce qui fait de (G,*) un groupe.

  12. #11
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Je ne suis pas calé en algèbre, je suis en train d'étudier le programme de maths sup donc je n'ai pas le recul nécessaire. C'est le sujet CAPES maths 2019.

    Je bloque sur la question suivante.

    Soit un point de distinct de . Soient et
    Montrer que les angles et sont égaux.


    Nom : Nouveau document 2019-04-07 09.16.20.jpg
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    J'ai fait :



    Après je suis bloqué.

  13. #12
    minushabens

    Re : Groupe

    encore une question bizarre puisqu'elle introduit un point M'' qui ne sert à rien... est-ce que tu sais des choses sur les triangles isocèles? ou sur la trigonométrie?

  14. #13
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Le point M'' sert pour la suite. Je vous mets les questions pour plus de clarté.

    La médiatrice est confondue avec la bissectrice. Ainsi :

    Donc :


    Mais après je ne vois pas.

    Nom : partieb.png
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  15. #14
    minushabens

    Re : Groupe

    Le problème c'est qu'on ne sait pas sur quelles connaissances de la géométrie plane tu peux t'appuyer. Est-ce que tu sais des choses sur les angles dans un triangle isocèle ou dans un parallélogramme?

  16. #15
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Oui dans un triangle isocèles les angles à la base ont même mesure. La médiatrice et la bissectrice sont confondues.
    Dans un parallèlogramme les angles opposés ont la même mesure.

  17. #16
    minushabens

    Re : Groupe

    ok. Tu vois que le triangle MM'Omega est isocèle?

  18. #17
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    pour la 1) c'est implicitement dans la symétrie.
    soit
    M' sym de M / D => l'égalité des angles :


    d'où l'égalité des angles.

    k=0 est à part et est immédiat.

    ps: écrit vite fait.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #18
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Le triangle est isocèle en mais je ne vois pas comment utiliser cette information.

  20. #19
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Ah merci j'ai compris je suis bête j'avais pas vu que avec

    Ansset comment vous simplifier le ?

    Et pour la question suivante, pourquoi on a des modulo qui apparaissent ?

  21. #20
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Il se passe quoi si k=0 ?

  22. #21
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Le triangle est isocèle en donc :



    Or avec

    Donc :

    Si :

    Si :

    J'ai pas compris le cas k=0

  23. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Ah merci j'ai compris je suis bête j'avais pas vu que avec
    Ansset comment vous simplifier le ?
    le signe de k n'importe pas. ( M peut être placé n'importe où )
    et l'angle (v,ku)=angle (v,u) pour k>0 et pi-angle(v,u) si k<0
    mais c'est la même chose pour l'autre angle, donc ne change pas l'égalité au final

    si k=0 MM' est perp à u1 donc c'est évident.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #23
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Si :

    J'ai pas compris le cas k=0
    non , ce n'est pas -l'angle. je viens de poster ( croisement )

    pour k=0, fais un dessin.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    mais , il y a plus simple en considérant le triangle isocèle et sa hauteur.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #25
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Merci ANsset j'ai compris. Je bloque sur la question VII 1 :

    Soient 2 rotations de centre respectifs et et d'angles respectifs et . On suppose

    1/ Déterminer 2 droites et telles que et

  27. #26
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    j'ai à peine survoler ton exercice.
    et je pense qu'on peut trouver les solutions à partir des questions précédente.
    néanmoins, en regardant vite fait:
    soit passant par et d'angle
    par rapport à l'axe
    elle doit satisfaire la première égalité.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #27
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Merci Ansset j'ai compris !

  29. #28
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Je trouve que est la droite passant par et d'angle par rapport à l'axe

  30. #29
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Groupe

    oui, c'est cela.
    mais dans nos deux assertions, il n'y a pas de démonstration écrite
    tu en as fait une ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  31. #30
    mehdi_128

    Re : Groupe

    Oui.

    Soit et
    est un point fixe de la rotation . Ainsi, est la rotation de centre et d'angle

    Mais on veut que : donc que

    Ainsi, la droite est la droite passant par faisant un angle de avec la droite

    est un point fixe de la rotation . Ainsi, est la rotation de centre et d'angle

    Mais on veut que : donc que

    Ainsi, la droite est la droite passant par faisant un angle de avec la droite

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