Projection orthogonale
Bonsoir,
Dans l'exercice ci-dessous je suis bloqué à la question 4. Je dois calculer la projection orthogonale du vecteur b sur l'espace des colonnes de A. J'ai une formule qui dit que P=A*inverse(A transposé * A)*A transposé. Mais je ne sais pas si c'est celle-ci qu'il faut utiliser car on veut la projection orthogonale du vecteur b. Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance,
Bonne soirée
Bonjour
Il y a plusieurs façons de faire mais si tu disais que la projection de b est une CL des 2 vecteurs.
il reste ensuite à exprimer l'orthogonalité avec......
Merci. Donc en fait si je dis que la projection est le vecteur (1,2,0) et que je calcule l'orthogonalité (en multipliant (1,2,0) par b je trouve 0) c'est bon ?
Bonjour je n'ai pas très bien compris.
Bon j'ai pas fait les questions avant, on peut calculer dans base orthonormale
Mais je fais comme annoncé.
Soit u la projection de b sur vect(a_1,a_2).
Alors u =x a_1 +y a _2. Par définition de u on a, b- u orthogonal vect(a_1,a_2).
On a donc 2 équations (b-u)a_1=0 et (b-u) a_2 =0 qui vont donner x et y donc u
une façon classique de faire est de dire que la projection sur l'espace engendré par les colonnes de la matrice A est une combinaison linéaire desdites colonnes, et donc un x'A où x est un vecteur à 2 composantes (car A a 2 colonnes). Cette projection minimise la distance entre b et une combinaison linéaire quelconque des colonnes de A Le carré de cette distance est ||x'A-b||^2=(x'A-b)'(x'A-b). Puisqu'on cherche un minimum on dérive cette distance par rapport à x et on obtient ce qu'on appelle équations normales A'Ax-A'b=0 soit x=(A'A)^{-1}A'b
Dernière modification par minushabens ; 21/04/2019 à 19h09.
Effectivement. Bon j'ai donné un moyen élémentaire pour calculer le projeté de b. Mais si on reste dans l'esprit de l'énoncé, normalement on a une b.o.n du plan sur lequel on projette.
(voir la question 1). Si on désigne par (v_1,v_2) ces deux vecteurs alors le projeté de b, est:
(b,v_1) v_1+(b,v_2) v2.
