Approximations de ln(2) et ln(3)

**mehdi_128** · 19/04/2019, 11h13

Bonjour,

Toujours dans ce sujet : http://www4.ac-nancy-metz.fr/capesma...s/EP2_2019.pdf

Je suis à la question XXI.

1/ Exprimer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ à l'aide de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (1)

$\text{[math]}$ (2)

Je trouve : $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

2/ Les calculs de la questions XIX donnent les valeurs approchés à $\text{[math]}$ près :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

En déduire une valeur approchée de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donner la précision de ces résultats.

J'ai pas compris la question sur la précision. Que donne une combinaison linéaire de valeurs approchées à $\text{[math]}$ près ?

Je trouve $\text{[math]}$

Et : $\text{[math]}$

invite51d17075 · 19/04/2019, 12h34

Envoyé par mehdi_128

J'ai pas compris la question sur la précision. Que donne une combinaison linéaire de valeurs approchées à $\text{[math]}$ près ?

cela ne demande qu'un peu de réflexion sur la somme des dernières décimales.

invite51d17075 · 19/04/2019, 12h45

j'ajoute qu'il y a aussi des facteurs multiplicatifs des valeurs initiales à 10^(-8) près.

**gg0** · 19/04/2019, 17h18

Écrire $\ln(1+\dfrac{1}{3}) \approx 0,28768207$ n'a aucun intérêt si une précision n'est pas donnée. Car il est tout aussi vrai que $\text{[math]}$

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 19/04/2019, 17h22

Du coup je n'ai pas compris la question sur la précision.

Les valeurs approchées données dans l'énoncé sont à $\text{[math]}$ près.

Si je fais une combinaison linéaire de 2 valeurs à $\text{[math]}$ près ça me donne quoi comme précision ?

**mehdi_128** · 19/04/2019, 17h33

On a : $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

Mais après je dois donner le résultat avec quel précision ?

invite6710ed20 · 19/04/2019, 17h37

Bjr
Soit X un réel et Y une valeur approchée. La précision consiste à donner un majorant de
|X-Y| (si possible le + petit en fonction des infos)

**gg0** · 19/04/2019, 17h41

"Si je fais une combinaison linéaire de 2 valeurs à $10^{-8}$ près ça me donne quoi comme précision ? "
Ben !! Ça dépend de la combinaison linéaire ! Il serait temps de commencer à réfléchir à ce que veut dire " à $10^{-8}$ près ".

**mehdi_128** · 19/04/2019, 17h43

Ok merci.

Ma réponse est-elle correcte ?

$\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près et $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près.

**gg0** · 19/04/2019, 17h55

Preuve ????

**mehdi_128** · 19/04/2019, 18h18

Je corrige ma coquille :

$\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près et $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près.

Preuve :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**gg0** · 19/04/2019, 18h52

Ceci n'est pas une preuve, mais une simple réécriture.

Il se trouve que c'est vrai, mais parce qu'on sait calculer ln(2) et ln(3) avec 10 chiffres significatifs exacts. Cependant, tu ne fais plus le sujet de ton problème. Tout cela parce que tu ne tiens pas compte de la précision sur les logs que tu as calculés au XXI 1.

Ces questions de précision peuvent se traiter dès la fin du collège, puisque c'est simplement manipuler correctement des inégalités. Il serait temps de revenir à ton sujet et de faire des maths.

invite51d17075 · 19/04/2019, 19h11

OK, mais ce n'est pas ce qui est demandé.
on demande de déduire des approximations connues.
ici il semble que tu dises qu'une combinaison linéaire de deux approx à 10^(-n) près donne une précision avec la même valeur ... à priori ( que le calcul confirme ou pas )soit v1 une valeur et v1a l'approx à 10^(-8) près
v1a=v1+eps1 avec un encadrement pour eps1
idem pour la deuxième valeur.
d'où une précision sûre et prouvée pour la combinaison linéaire.

**mehdi_128** · 19/04/2019, 19h40

Ggo je veux bien continuer mais l'énoncé demande la précision et je dois faire une preuve...

$\text{[math]}$

Notons $\text{[math]}$ une valeur approchée de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près.
Notons $\text{[math]}$ une valeur approchée de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ près.

On a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Le 3 me gêne

**gg0** · 19/04/2019, 20h04

Pourtant c'est bien le résultat.

Pourquoi voudrais-tu que si on connaît a et b à e près, on ait encore la même précision sur 20 a + 30 b ???

$\text{[math]}$
Tu penses vraiment que
$\text{[math]}$ ?

NB : $\text{[math]}$

Merlin95 · 19/04/2019, 20h09

Croisement...

invite51d17075 · 19/04/2019, 20h10

l'approche est propre.
et pour la conclusion, revenir à la définition d'une estimation à 10^(-k) près.

croisement.

**mehdi_128** · 19/04/2019, 21h12

Merci pour votre aide, j'ai rédigé une réponse :

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**mehdi_128** · 19/04/2019, 21h33

Donc pour $\text{[math]}$ la précision est $\text{[math]}$ alors que pour $\text{[math]}$ elle est de $\text{[math]}$

Je bloque sur la question XXII.

J'ai essayé d'écrire $\text{[math]}$

Et utiliser la question XIV mais je n'aboutis pas

Je n'obtient pas le $\text{[math]}$

invite51d17075 · 19/04/2019, 23h35

pour k impair , la diff des termes en k s'annule.
ne reste donc dans la somme que la soustraction des k pairs, qui s'écrivent ( avec la soustraction ) en $\text{[math]}$
reste ensuite l'intégrale.

**mehdi_128** · 20/04/2019, 00h31

Ah merci Ansset je vais réfléchir.

Il faut utiliser la partition de l'ensemble fini : $\text{[math]}$

On a : $\text{[math]}$

Ici les termes impairs s'annulent donc il faut déterminer $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On en déduit : $\text{[math]}$

Pourquoi dans la somme finale il n'y a pas de partie entière ?

**mehdi_128** · 20/04/2019, 11h12

J'ai réussi finalement, il fallait penser à prendre $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ dans la formule du XIV.

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invite51d17075 · 20/04/2019, 13h55

pas lu en détail tes belles "pattes de mouches"

mais dans la première écriture tu pars du principe que n est pair en changeant n par 2n.
( bref tu ne traites pas le cas n impair )
par ailleurs, c'est un peu lourd , non !

**mehdi_128** · 20/04/2019, 16h18

Dommage, je détaille tous le raisonnement. L'égalité de la question XIV est vrai pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1. Elle est donc vraie pour tout entier de la forme 2n avec n supérieur ou égal à 1.

Pourquoi vous parler de cas impair ?

**mehdi_128** · 20/04/2019, 16h21

D'après la question XIV l'égalité étant vraie au rang n pour tout entier, elle est aussi vraie au rang 2n.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

invite51d17075 · 20/04/2019, 16h22

edit : tu as raison....

**mehdi_128** · 20/04/2019, 16h28

Mon calcul c'est plus clair que mes pattes de mouche

On obtient :

$\text{[math]}$

Considérons l'ensemble fini : $\text{[math]}$

On a : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$

Ici les termes impairs s'annulent donc il faut déterminer $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On en déduit : $\text{[math]}$

D'où : $\text{[math]}$ en posant le changement de variable : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

Enfin : $\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ le résultat est démontré.

invite51d17075 · 20/04/2019, 16h38

vivi !
l'expression "pattes de mouches" était plutôt à prendre comme de l'auto-dérision.
car j'ai eu une pathologie qui m'a bien flinguer la vue !
ceci dit, cette présentation ( indépendamment du Latex ) est plus concise que la précédente.

et désolé d'avoir "vu" un instant une complication inutile. ça arrive ....

**mehdi_128** · 20/04/2019, 17h07

Question XXIII

$\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

Mais : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

On a aussi : $\text{[math]}$

On en déduit : $\text{[math]}$

Où : $\text{[math]}$

Pour la question XXIV 1) :

J'ai un doute, pour calculer une valeur approchée de $\text{[math]}$ on prend $\text{[math]}$ mais on aura une valeur approchée de $\text{[math]}$ mais pas de $\text{[math]}$ non ?

Pareil pour $\text{[math]}$ on prend $\text{[math]}$ mais on aura une valeur approchée de $\text{[math]}$ mais pas de $\text{[math]}$ non ?

invite51d17075 · 20/04/2019, 19h45

Pour la XXIII, encore beaucoup trop de lignes inutiles.(*)

sinon , faute de frappe à la dernière ligne :

$\int_{0}^x\dfrac{t^{2n}}{1-x^2} dt = \dfrac{1}{1-x^2}\int_{0}^xt^{2n}dt = \dfrac{1}{1-x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$

la première égalité est une inégalité.

pour XXIV 1) qu'est ce qui te gène vraiment ?

(*) les épreuves de Maths au CAPES (ne) durent que 5h ( ça parait long, mais il y a beaucoup de questions )
inutile de détailler des inégalités de l'ordre du collège.
je ne dis pas du tout que c'est ton niveau, mais c'est une perte de temps.

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