équation differentielle ( probleme de cauchy)

[invite19fdb7a1]

Bonjour, je suis bloqué dans le début de cet exercice si vous pouvez m’aider.

Soit le problème de Cauchy : avec la condition initiale .

1)vérifier qu’il existe une solution maximale de sur un intervalle de à préciser.

2)Montrer que si , non identiquement nulle, est solution de alors ne s’annule pas. Poser et résoudre l’équation différentielle.

pour le 1) La fonction est de classe sur l’ouvert , d’après le théorème de Cauchy Lipschitz, le problème de Cauchy :

;


Admet une seule solution.

Comment puis-je préciser l’intervalle de des solutions


Tout ce dont je sais qu’il s’agit d’un intervalle ouvert contenant .

le début de la question 2) aussi je n’ai pas compris.

Je vous remercie d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
La phrase " à préciser" est ambiguë.
Je pense qu'il faut simplement à ce stade utiliser les théorèmes d'existence quivontbien pour dire qu'il existe une solution maximale.

C'est seulement après la résolution en partie 2 qui vous trouverez les bornes de l'ouvert. La borne supérieure va dépendre de y0 et x0, mais pas
de manière très simple... (en tout cas, je ne vois pas comment on pourrait l'intuiter "à vue" dès la question 1)

[invite19fdb7a1]

Bonsoir ,

D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, le problème de Cauchy admet une seule solution maximale.
Donc :
Si , cette solution maximale est :
Définie sur si
Définie sur si
Je pense que c’est tout ce qu’on peut dire non ? après on va étudier le cas