probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R
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probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R



  1. #1
    midorima

    probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R


    ------

    Bonjour tous le monde,
    je tombe sur un exercice qui suggère une méthode pour la fameuse équation fonctionnelle de Cauchy
    qui procède par étapes d'abord sur N puis Z puis Q mais au niveau de R je ne comprend plus
    voici l'exercice :
    Soit la fonction f: de R vers R telle que
    quelque soit x ,y dans R : f(x+y)=f(x)+f(y)
    1/ Montrer que f(0)=0.
    2/ Montrer que f est une fonction impaire.
    3/ Montrer que pour tout n dans N, on a : quelque soit x dans R : f(nx)=nf(x).
    4/ Montrer que pour tout r dans Q , on a : quelque soit x dans R : f(rx)=rf(x).
    5/ Montrer que si f est continu alors on a : quelque soit x dans R : f(x)=xf(1).

    Bon voila pour question 1 il suffit de remplacer x par 0
    la deuxième question remplacer x par -y
    la troisième une démonstration par récurrence
    pour la quatrième c'est aussi facile
    mais pour la 5 eme question je n'ai pas su la faire
    et après avoir vu le corrige je ne l'ai même pas compris
    je vous demande une solution de vous même pour cette question avant de voir ce corrige que je vais mettre

    la corrige que j'ai trouve :

    Q est dense dans R
    quelque soit x dans R, il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)

    f est continu en x donc :
    si limUn=x (n tend vers l'infini) alors limf(Un)=f(x)
    on a f(Un*1)=Un*f(1) Avec la limite on aura le résultat voulu
    mais bon voila mon problème c'est dans la première partie du corrige;
    d'ou a t on le droit de dire qu'il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)
    une démonstration ?
    je sais qu'il existe un théorème selon lequel si f une fonction continu en un point x0 alors
    il existe une suite Un tel que lim Un =x0
    mais ce théorème est applicable pour un point défini x0 et non pas sur tout R
    de plus il n'est pas dit que la suite Un appartient a Q

    besoin d'aide et c'est un peu urgent
    PS je ne suis qu'en première année prepa donc il se peut que je ne comprenne les démonstration des années supérieures a la première.
    merci d'avance

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Bonsoir.

    "d'ou a t on le droit de dire qu'il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)"
    C'est une des définitions des nombres réels (R est le complété de Q). Mais si tu restes dans l'intuitif, voici une explication :
    * si x est rationnel, on prend la suite constante égale à x
    * si x est irrationnel, on prend (par exemple) la suite des approximations décimales à n chiffres après la virgule par défaut.

    NB : "je sais qu'il existe un théorème selon lequel si f une fonction continu en un point x0 alors il existe une suite Un tel que lim Un =x0" ??? Ça n'a pas de sens, tu mélanges sans doute. Car f ne sert à rien ici !!!

    Cordialement.

  3. #3
    midorima

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Bonsoir,
    je n'ai pas tres bien compris (R est le complété de Q)
    si Un est dans Q elle dans R d'accord mais pas le contraire
    et le reste je n'ai pas vraiment compris ou est le lien avec le probleme pose
    deplus au contraire je ne reste pas sur l'intuitifj'ai beaucoup plus besoin de demonstration a chaque chose dite
    une meilleure reformulation s'il vous plait ?!

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Laisse tomber le complété (notion de L3), mais essaie de vraiment comprendre ce que j'explique.
    Et si tu as des questions, formule-les clairement ("si Un est dans Q elle dans R d'accord mais pas le contraire" ??? Quel rapport ????)
    Si tu ne veux pas rester dans l'intuitif, donne ta définition de R. Si tu en as une ...

    J'ai répondu à ta question précise, et une fois cela établi, faire la question 5 est de la pure rédaction.

    Bon travail personnel

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    midorima

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Une definition de R
    ma definition est que R est l'union de l'ensemble des rationnels Q et irrationels R/Q
    de cette définition je pense que prouver que pour tout m dans R/Q , on a : quelque soit x dans R : f(mx)=mf(x).
    mais a bon a savoir si c'est possible de le prouver.
    et est ce que je suis dans le bon chemin
    ou alors je suis out et que "la definition de R" est autre chose
    j'ai cherche c'est quoi la definition de R mais je ne trouve pas vraiment ce qu'on appelle une definition.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Tu te moques du monde :
    "j'ai beaucoup plus besoin de démonstration a chaque chose dite"
    "ma definition est que R est l'union de l'ensemble des rationnels Q et irrationels R/Q"
    Avec cette "définition" (les irrationnels étant les éléments de R (qui est R ???) qui ne sont pas dans Q), aucune démonstration possible. Tu restes donc dans l'intuitif (les réels ce sont les nombres que j'utilise habituellement).

    Donc ne perds pas ton temps là dessus, pas besoin d'une définition des réels pour travailler avec, tu le fais depuis des années. Et avec cette notion imparfaitement mathématisée et ce que je t'ai dit, tu peux finir ton exercice.

    Bon travail !

  8. #7
    midorima

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    * si x est rationnel, on prend la suite constante égale à x
    * si x est irrationnel, on prend (par exemple) la suite des approximations décimales à n chiffres après la virgule par défaut.
    .
    Ok bon j'ai compris pour l'exemple le fait que la suite soit une approximations décimales à n chiffres après la virgule ce qui fais que Un a une virgule fini
    et donc Un appartient a Q, et celon ce que je comprend pour tout x dans R, Un est toujour rationnelle.
    et quand n tend vers l'infini hors le nombres de chiffres apres la virgule va vers l'infini elle tendera naturellement vers x
    mais cela reste un exemple et comme vous l'avez dit cela est intuitif si j'ai bien compris
    qu'on est il du cas generale ou alors on prend cet example car il est benefique pour nous afin de resoudre specialement cette question ?

    pour la suite je suppose qu'il suffit juste d'appliquer le theoreme limf(Un)=f(x).

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    J'ai répondu à ta question ("d'ou a t on le droit de dire qu'il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)"), j'ai même exhibé une suite. Que veux-tu de plus ???
    Tu sembles refuser une preuve pourtant claire. Et qui est générale (pas seulement pour cet exercice, elle n'en parle même pas !!)

    Ou alors c'est la suite de la preuve ("on a f(Un*1)=Un*f(1) Avec la limite on aura le résultat voulu") qui te pose problème ? rédige-la, tu as tout ce qu'il te faut pour le faire.

    Rappel : Ce qui est probant, ce n'est pas un texte écrit par d'autres et que tu acceptes sans réserves, c'est que toi, tu rédiges ta propre preuve appuyée sur les règles admises (par toi et les autres). Soit tu en es capable, et tu as prouvé, soit non et tu ne sais pas si c'est vrai.
    Dernière modification par gg0 ; 22/11/2018 à 08h30.

  10. #9
    midorima

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    bon tres bien puisque cela est suffisant
    mais j'aimerais reprendre la notion de definition de R
    et les notions imparfaitement mathematise
    une explication svp

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : probleme pour l'equation fonctionnelle de cauchy sur R

    OK.

    Pour la définition de , on utilise une construction à partir de pour en justifier l'existence, ou bien une définition axiomatique, qui permet de justifier tout ce qu'on veut faire. Et bien sûr, les axiomes sont démontrables à partir de la construction choisie (en fait, il y en a plusieurs, qui donnent à chaque fois un corps vérifiant les axiomes.
    1) Constructions à partir de :
    * Ensemble des suites de Cauchy dans , quotienté par une certaine relation d'équivalence (qui revient à "avoir la même limite dans ", mais évidemment définie seulement sur les suites de Cauchy de rationnels.
    * Définition par les coupures
    * Définition par les ensembles emboités
    Ensuite, il faut définir les opérations sur les réels, par prolongation de celles sur , et de même l'ordre (relation ), puis justifier les propriétés connues des opérations et de l'ordre.
    2) Définition axiomatique : est un corps (sous entendu commutatif) ordonné archimédien qui vérifie la propriété de la borne supérieure(*), (voir ce document).

    On trouvait ça il y a peu dans les cours de L1 ou de première année de prépa. mais on fait tellement moins de maths en lycée que c'est fait plus tard (ou jamais !!). Si tu as accès à une BU ou à un CDI fourni, vois des livres de ce niveau des années avant 2000.

    Cordialement.

    (*) ou l'axiome des segments emboités, ou de la suite croissante majorée; il y a plusieurs formulations de cette quatrième propriété.

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