Bonjour tous le monde,
je tombe sur un exercice qui suggère une méthode pour la fameuse équation fonctionnelle de Cauchy
qui procède par étapes d'abord sur N puis Z puis Q mais au niveau de R je ne comprend plus
voici l'exercice :
Soit la fonction f: de R vers R telle que
quelque soit x ,y dans R : f(x+y)=f(x)+f(y)
1/ Montrer que f(0)=0.
2/ Montrer que f est une fonction impaire.
3/ Montrer que pour tout n dans N, on a : quelque soit x dans R : f(nx)=nf(x).
4/ Montrer que pour tout r dans Q , on a : quelque soit x dans R : f(rx)=rf(x).
5/ Montrer que si f est continu alors on a : quelque soit x dans R : f(x)=xf(1).
Bon voila pour question 1 il suffit de remplacer x par 0
la deuxième question remplacer x par -y
la troisième une démonstration par récurrence
pour la quatrième c'est aussi facile
mais pour la 5 eme question je n'ai pas su la faire
et après avoir vu le corrige je ne l'ai même pas compris
je vous demande une solution de vous même pour cette question avant de voir ce corrige que je vais mettre
la corrige que j'ai trouve :
Q est dense dans R
quelque soit x dans R, il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)
f est continu en x donc :
si limUn=x (n tend vers l'infini) alors limf(Un)=f(x)
on a f(Un*1)=Un*f(1) Avec la limite on aura le résultat voulu
mais bon voila mon problème c'est dans la première partie du corrige;
d'ou a t on le droit de dire qu'il existe une suite Un qui appartient a Q telle que lim Un =x (n tend vers l'infini)
une démonstration ?
je sais qu'il existe un théorème selon lequel si f une fonction continu en un point x0 alors
il existe une suite Un tel que lim Un =x0
mais ce théorème est applicable pour un point défini x0 et non pas sur tout R
de plus il n'est pas dit que la suite Un appartient a Q
besoin d'aide et c'est un peu urgent
PS je ne suis qu'en première année prepa donc il se peut que je ne comprenne les démonstration des années supérieures a la première.
merci d'avance
-----
Envoyé par gg0 
, on utilise une construction à partir de