équation fonctionnelle de Cauchy

[invite3be14dc5]

Bonjour,
J'aimerai savoir si quelqu'un pouvais m'aiguiller sur les solutions de l'équation fonctionnelle de Cauchy: f(x+y) = f(x) + f(y)
je sais que les fonctions linéaires continues sont des solutions mais je sais qu'il en existe des non-continues avec certaines hypothèses prédéfinies et je n'arrive pas à trouver de documents expliquant clairement la chose. Si quelqu'un peut me proposer des solutions... ( sites français ou anglais, livres, etc....) je serai preneur !

Merci d'avance pour vos réponses
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[Resartus]

R étant un espace vectoriel sur Q, on peut y trouver une base (mais cela suppose l'axiome du choix).
Toute transformation dont la matrice dans cette base est diagonale mais avec des coefficients pas tous égaux répond à la question
s'ils sont tous égaux, on retrouve une fonction linéaire...
Wikipedia en parle un peu (en Français, et un peu plus en anglais)
sinon ceci :
http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf

[invite23cdddab]

Il est facile de voir que toute fonction Q-linéaire vérifie cette équation, et qu'inversement, toute fonction qui vérifie cette équation est Q-linéaire.

Il suffit donc de fixer les valeurs de f sur une base de R (vu en tant que Q espace vectoriel)

Après on ne peut pas exhiber explicitement une Q-base de R

[invite3be14dc5]

D'accord merci pour vos réponse !
Il faut avoir une base de R faites de vecteurs de Q ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Non. Q c'est ton corps des scalaires.