equation fonctionnelle

[invite772ed417]

bonjour,
j'ai besoin d'une petite aide dans cet exercice dont l'enoncé est le suivant:
soit f une application de l'intervalle )-1,1( dans R telle que

et f n'est pas identiquement nulle sur )-1,1(
1)montrer que f ne s'annule pas sur )-1,1( et que f est strictement positive sur cet intervalle.
pour la première partie de cette question j'ai raisonné par absurde mais je n'ai pas pu trouver une contradiction avec les données de l'exercice.Dans la deuxième partie j'ai procédé ainsi :
pour x=y on trouve que :
donc
d'autre part, pour y=0 on a: f(x)=f(x)f(0) puisque f ne s'annule pas sur )-1,1( on peuut donc simplifier par f(x) donc f(0)=1
ce qui nous permet d'etablir que
4)montrer que
3)on suppose dans cette question que f est continue en 0,montrer que f est continue sur )-1,1( tout entier.
l'idée est de montrer que f est continue en tout point de cet intervalle donc en considérant un élément a quelconque de cet intervalle on doit montrer que ce que je n'ai pas pu montrer.
4)on suppose dans cette question que f est derivable en 0 et que f'(0)0 et on pose g=
montrer que g verifie bien les condition de f (evident) et que g est derivable sur )-1,1( tout entier.
Merci d'avance pour votre aide.
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[invite184b87fd]

Pour montrer que f ne s'annule pas sur cet intervalle tu peux supposer qu'il y a un a auquel f(a) = 0 ce qui implique que f(x) f(y) = 0 ce qui implique que l'un des deux facteurs au minimum vaut 0 , or la fonction f n'est pas identiquement nul sur l'intervalle donc f ne s'annule pas .

cdt

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour montrer que f ne s'annule pas sur cet intervalle tu peux supposer qu'il y a un a auquel f(a) = 0 ce qui implique que f(x) f(y) = 0 ce qui implique que l'un des deux facteurs au minimum vaut 0 , or la fonction f n'est pas identiquement nul sur l'intervalle donc f ne s'annule pas .

Je ne vois pas trop ce que tu démontres là ... Quel est le rapport entre , et dans ce que tu écris ??! ... En plus tu ne mets pas le moindre quantificateur, et je ne vois pas comment tu aboutis à une absurdité.

Si l'on reprend depuis le début, par l'absurde supposons que :

D'après l'équation fonctionnelle en prenant il vient

Maintenant c'est à partir de cette nouvelle propriété que l'on peut raisonner, par exemple en étudiant rapidemment la fonction sur .

Cordialement

[invite772ed417]

tu peux supposer qu'il y a un a auquel f(a) = 0 ce qui implique que f(x) f(y) = 0

je ne vois pas pourquoi.quelle est la relation entre ce a en particulier et x et y qui sont pour toi ,d’après ce que j'ai compris et corrige moi si je me trompe,des éléments quelconque de l'intervalle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

je ne vois pas pourquoi.quelle est la relation entre ce a en particulier et x et y qui sont pour toi ,d’après ce que j'ai compris et corrige moi si je me trompe,des éléments quelconque de l'intervalle.

Tout à fait, cf mon précédent message (#3).

Cdt

[invite772ed417]

oui désolé mais votre message n'a pas pu être affiché en premier lieu,la fonction que vous avait suggéré est une bijection de )-1;1( vers lui même mais en quoi cela nous servirai -t- il?

[PlaneteF]

(...) la fonction que vous avait suggéré est une bijection de )-1;1( vers lui même (...)

Et ben oui, tout à fait, et donc ça y est, c'est (presque) gagné ! ... L'absurdité est maintenant quasi-immédiate.

Soit quelconque ... Je te laisse le soin de finir.

Cdt

[invite184b87fd]

Rebonsoir ,

Dans le a que j'utilisais , je sous-entendais qu'il s'écrivait en fonction de x et y mais bon je peux me tromper , désolé .

cdt

[PlaneteF]

Dans le a que j'utilisais , je sous-entendais qu'il s'écrivait en fonction de x et y mais bon je peux me tromper , désolé .

Ben justement non ! ... D'où l'intérêt d'une rédaction avec l'usage de quantificateurs afin d'être clair et précis, et d'éviter de faux raisonnements.

(Je t'invite à relire mon message#3​)

Cdt

[erff]

Salut,

Pour faciliter la besogne, considere la fonction g tq g(x)=ln(f(th(x)))
On montre alors que g(x+y)=g(x)+g(y)... Bien plus facile à manipuler que la fct f.

[invite26ea85d9]

Et oui les formules de trigonométrie hyperbolique ! th(a+b) ^^