Equation fonctionnelle

invite759c78a5 · 04/03/2015, 15h31

Salut à tous,

Je ne vois pas du tout comment procéder pour cet exercice :

Trouver les fonctions $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ .

Je suis parti comme ça : $\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas comment continuer... Merci de votre aide

azizovsky · 04/03/2015, 16h21

Salut, les fonctions : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

invite759c78a5 · 04/03/2015, 17h40

Salut,

Est-elle la seule fonction à vérifier cette égalité? Si oui, comment le prouver?

invite93e0873f · 04/03/2015, 19h59

Non, il ne s'agit pas des seules fonctions vérifiant ces conditions. Toutes les fonctions $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ fonctionnent.

Le problème semble cependant assez ardu. Par exemple, la relation identifiée au message initiale implique en particulier que $\text{[math]}$ pour tout x. En définissant la fonction $\text{[math]}$ , ceci signifie que $\text{[math]}$ . Ceci implique que pour tout x réel et pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . De prime abord, cette relation n'a pas à tenir pour des n négatifs, ce qui imposent diverses contraintes assez subtiles sur les f possibles.

Autre aspect, en considérant ce qui se passe en x=0, nous voyons que $\text{[math]}$ . En travaillant avec la relation ci-dessus, nous pouvons en déduire que $\text{[math]}$ . Je ne sais pas à quel point c'est utile, mais ça donne une relation peut-être plus explicite entre f et son inverse.

J'ai obtenu une solution plus étrange que la famille du début de ce message et j'ai l'impression que nous pouvons en obtenir des bien plus farfelues encore. Considérons

$\text{[math]}$

En fait, plus généralement, la relation $\text{[math]}$ se récrit $\text{[math]}$ pour tout x. J'ai l'impression que ça donne un bon critère à étudier et plusieurs possibilités.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

azizovsky · 04/03/2015, 20h58

Bonsoir, on'a $\text{[math]}$ , soit un autre fonction $\text{[math]}$ ,on'a $\text{[math]}$ , ceci dit $\text{[math]}$

pour le moment ce que je vois de simple pour démonter ...

*on se servant de l'assossiabilité de la composition:

invite93e0873f · 04/03/2015, 21h26

J'aimerais revenir sur mon précédent message afin d'indiquer que le passage suivant

Envoyé par Universus

En travaillant avec la relation ci-dessus, nous pouvons en déduire que $\text{[math]}$ . Je ne sais pas à quel point c'est utile, mais ça donne une relation peut-être plus explicite entre f et son inverse.

est absolument faux. L'exemple explicite que j'ai donné contredit ce passage.

invite9dc7b526 · 04/03/2015, 22h11

Envoyé par Universus

onsidérons

$\text{[math]}$

On peut généraliser cette construction. Par exemple, a et b étant 2 rationnels, f(x)=x+a si x est rationnel et f(x)=x+b sinon.

invite93e0873f · 04/03/2015, 23h05

Envoyé par minushabens

On peut généraliser cette construction. Par exemple, a et b étant 2 rationnels, f(x)=x+a si x est rationnel et f(x)=x+b sinon.

Oui. En fait, si nous écrivons $\text{[math]}$ de telle sorte que pour tout $\text{[math]}$ , il existe un réel $\text{[math]}$ satisfaisant $\text{[math]}$ , alors il suffit de poser $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ . Dans une notation suggestive, $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est la fonction indicatrice du sous-ensemble E).

Cela me semble résoudre le problème, puisque réciproquement, la fonction $\text{[math]}$ doit être constante sur tout sous-ensemble de la forme $\text{[math]}$ . Ainsi, en prenant $\text{[math]}$ et en posant $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , nous avons clairement $\text{[math]}$ .

Ce n'est pas très parlant cependant, mais j'ai l'impression que c'est le mieux qu'on puisse faire...

azizovsky · 05/03/2015, 08h19

Bonjour, on posant des réstrictions sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,est ce qu'on peut montrer qu'il existe des $\text{[math]}$ (Conjecture de Goldbach

)

invite93e0873f · 05/03/2015, 16h07

Envoyé par azizovsky

Bonjour, on posant des réstrictions sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,est ce qu'on peut montrer qu'il existe des $\text{[math]}$ (Conjecture de Goldbach

)

Ce n'est pas possible, principalement parce qu'une telle fonction impliquerait plus ou moins trivialement qu'il y a beaucoup de grands nombres premiers.

En effet, par l'absurde, supposons qu'une telle fonction existe. Nous avons vu que $\text{[math]}$ admet une certaine « périodicité » en ce sens qu'elle est constante sur tout « demi-réseau » $\text{[math]}$ . L'image de ce « demi-réseau » par $\text{[math]}$ est l'ensemble $\text{[math]}$ . Par hypothèse sur $\text{[math]}$ , si x est un entier suffisamment grand, alors tous les éléments de cet ensemble sont premiers. Ceci donne lieu à une raréfaction des nombres premiers bien moins importante que celle démontrée par Hadamard et La Vallée Poussin.

Par contre, considérant la propriété de « périodicité » spéciale de $\text{[math]}$ , il y a peut-être des liens à faire avec des méthodes de crible...

azizovsky · 05/03/2015, 17h08

Salut, merci Universus pour tes lumières, et je m'excuse neutriospace de poser la question ici.

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