Equation fonctionnelle

[jinmu]

Bonjour,

On s'intéresse aux applications de dans vérifiant la condition (C) :



Question : On suppose que f est dérivable en 0 et non identiquement nulle.

a) Déterminer toutes les fonctions f de dans satisfaisant cette hypothèse et vérifiant la condition (C)

b) Que peut-on en conclure lorsque f est seulement dérivable à droite ou à gauche en 0?

a) Je trouve que les fonctions de dans de la forme : (avec vérifient la condition (C) et sont dérivables en 0. Je n'arrive pas cependant à trouver d'autres fonctions ou à montrer que ce sont les seules fonctions qui fonctions qui répondent à la question.

b) Là, sans être sûr, je dirais que les fonctions de la forme (avec ) pour x réel postif ou nul (si f est dérivable à droite en 0) vérifient la condition (C) .

Une aide? Merci.
-----

[Tryss]

Déjà on peut voir comment sont définis ces fonctions sur les entiers :

f(n) = f(n/n)^n = f(1)^n => La valeur de ces fonctions sur les entiers ne dépend que de la valeur en 1

Ensuite, sur les rationnels, on a :

f(p/q) = f(p)^(1/q) = f(1)^(p/q) => La valeur de ces fonctions sur les rationnels ne dépend que de la valeur en 1

Puis, comme f est continue (car dérivable), on a nécessairement que f(x) = f(1)^x.


Si f n'est pas continue, on ne peut pas faire cette dernière étape, et il peut se passer beaucoup de choses

[jinmu]

Merci Tryss.