Equation fonctionnelle

[invited3e24d42]

Bonsoir,
En révision de sup', j'ai essayé de résoudre le problème suivant :
déterminer toutes les applications f continues de R vers R telles ques :
pour tout x réel : f(2x+1)=f(x)

J'ai montré que pour tout couple (p,q) dans ZxN, on a f(p/2^q)=f(0)

Ensuite, j'essaie de démontrer que E={p/2^q, (p,q) dans ZxN} est dense dans Q et donc dans R et là ça coince un peu plus, comment prouver que tout rationnel est limite d'une suite d'éléments de E?


Merci d'avance
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[invite769a1844]

Ensuite, j'essaie de démontrer que E={p/2^q, (p,q) dans ZxN} est dense dans Q et donc dans R et là ça coince un peu plus, comment prouver que tout rationnel est limite d'une suite d'éléments de E?


Merci d'avance

Bonsoir,

pour tout réel , on a , où désigne la fonction partie entière.

[invite57a1e779]

En utilisant une suite qui satisfait la relation de récurrence , tu montres que, pour tout , ...

[invite2c65a29c]

Bonsoir,
En révision de sup', j'ai essayé de résoudre le problème suivant :
déterminer toutes les applications f continues de R vers R telles ques :
pour tout x réel : f(2x+1)=f(x)

J'ai montré que pour tout couple (p,q) dans ZxN, on a f(p/2^q)=f(0)

Ensuite, j'essaie de démontrer que E={p/2^q, (p,q) dans ZxN} est dense dans Q et donc dans R et là ça coince un peu plus, comment prouver que tout rationnel est limite d'une suite d'éléments de E?


Merci d'avance

essayes plutot de montrer que l'ensemble des x vérifiant f(x)=f(0 est un fermé contenant E.

[A voir en vidéo sur Futura]