Equation fonctionnelle

[invite33c0645d]

Bonjour,

Je suis complètement bloqué. J'ai un petit problème à résoudre, et je ne trouve aucune piste pour avancer. Mon but est de démontrer qu'il existe une application qui soit bijective, et telle que

, , .

On peut essayer de ramener la double égalité à un système de deux équations, faisant apparaître . Chaque équation peut par exemple être traitée de manière indépendante (dans un premier temps). J'ai alors appliqué des théorèmes de points de fixes sur l'ensemble des fonctions continues sur un compacts. Ainsi, je prouve qu'il existe une unique fonction continue vérifiant l'équations

,

c'est application constante égale à -1/2 (pour des raisons de continuité car $r<1$). Mis à part cette technique je ne vois vraiment pas par où commencer... J'ai essayé de partir dans un délire algébrique, et j'ai essayé de donner des conditions nécessaires, mais je n'aboutit à rien d'intéressant.

Auriez-vous quelques suggestions ?

Cordialement,

Suite2
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[0577]

Bonjour,

la première égalité donne g(0)=0 alors que la deuxième donne g(0)=-1/2.
Etes-vous sûr que l'énoncé est correct?

[invite33c0645d]

En effet, j'ai oublié de préciser cette observation pathétique... On fixe g(0) = 0, et l'équation fonctionelle est vérifiée partout sauf en 0. On aimerait alors trouver une contradiction de ce type en considérant des points proches de zéro. Mon problème est que je n'impose pas du tout à mon application $g$ d'être continue.
Au vu de la relation $g(x) = 2g(\alpha x)$, on a tendance à dire que si $g(x) \geq 0$, alors $g$ doit être croissante.
En revanche l'autre relation a plutôt tendence à dire que $g$ est décroissante! Autrement dit, je pense que c'est ici qu'on peut trouver une contradiction, mais comment la mettre clairement en avant ?

[invitef3414c56]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, votre fonction g est bijective de l'ensemble des réels privé de 0 dans lui m\^eme.

Prenez la valeur a=-2/5, il existe donc une valeur x non nulle telle que g(x)=a. Faites les calculs pour en déduire que

g(\alpha x)=g(rx).

Comme g est injective, on a \alpha x=rx, donc \alpha=r, ce qui est contradictoire avec vos hypothèses.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

g(\alpha x)=g(rx)
(...)
\alpha x=rx, donc \alpha=r
(...)

Bonsoir, ... Pour que "\alpha" soit pris en compte il faut le mettre entre deux balises TEX.

Cordialement

[invite33c0645d]

Bien vu ! Merci beaucoup