Conditions intégrales multiples

[Arateriou]

Bonjour à tous, je souhaiterais savoir quelles sont les conditions (sur D et sur f) pour qu'une intégrale du type soit définie. Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer là-dessus?
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[Seirios]

Bonjour,

Peut-être serait-il bon de préciser ta question, qu'est-ce que tu cherches vraiment à comprendre ? Sinon, une condition est de prendre D quarrable et f continue (si l'on construit l'intégrale multiple sans utiliser Lebesgue).

[Arateriou]

Ok, réponse ultra rapide merci, en fait je crois bien que c'est exactement cette définition que je cherchais, vu qu'en effet je n'ai pas encore vu les intégrales de Lebesgue.
Et sans vouloir abuser de tes services est-ce que tu pourrais m'expliquer comment (en règle générale tout du moins) est-ce que l'on montre que D est quarrable?
De ce que j'ai lu, un ensemble est quarrable si c'est une somme de pavés, ou s'il tend vers une somme de pavés en tout cas. Mais je ne vois pas concrètement comment montrer ça.. Surtout si je dois le faire avec des coordonnés cylindriques ou sphériques! Par exemple comment pourrais-je montrer que D={(r,thêta,z)/ (r-1)<z<(1-r)} est quarrable? Bien sur si tu penses qu'un autre exemple serait plus parlant pour m'expliquer le principe de raisonnement, alors libre à toi!

[Seirios]

De ce que j'ai lu, un ensemble est quarrable si c'est une somme de pavés, ou s'il tend vers une somme de pavés en tout cas.

De ce que je me souviens, un ensemble est quarrable si pour tout , il existe des unions de pavés telles que et .

Par exemple comment pourrais-je montrer que D={(r,thêta,z)/ (r-1)<z<(1-r)} est quarrable? J'imagine que les inégalités sont inversées.

À vrai dire, je ne crois pas qu'on le fasse vraiment avec ce genre d'ensembles. C'est visuellement "évident". Maintenant, si tu souhaites vraiment le montrer, tu peux peut-être te ramener à un ensemble plus simple en utilisant qu'une union de quarrables est quarrable, que le complémentaire d'un quarrable est quarrable, etc. Mais finalement, il faudra exhiber des suites d'unions de pavés, et montrer qu'elles vérifient les propriétés qu'il faux, ce qui sera sans doute (très) fastidieux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

Seirios a donné une condition suffisante pour que I soit défini, mais cette condition, f continue, n'est pas nécessaire.

C'est comme si quelqu'un demandait quelle condition doit vérifier f pour que:

soit défini.

La condition c'est que f soit intégrable sur [a, b], c'est tout. Il faut alors retourner à la définition de l'intégrabilité avec les suites de fonctions en escaliers qui encadrent f etc.

Il existe quand même une CNS de l'intégrabilité peu connue. Une fonction f est intégrable sur [a, b] ssi l'ensemble des points de discontinuité de f sur [a, b] est négligeable. (les ensembles finis ou dénombrables sont négligeables mais il y en a d'autres)

Je suppose que c'est pareil avec les intégrales triples, avec une condition sur D en plus.