Problème équation différentielle

[hhh86]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'équation différentielle
f''(x)+(af'(x)³/[(k-x)²])
Si quelqu'un pourrait m'aider, ce serait gentil.
J'ai essayé de poser g(x)=f'(x), mais je n'y arrive pas
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[Jeanpaul]

Je suppose que l'équation c'est ton expression = 0
Pose effectivement g = f' et ensuite tu vois apparaître un g'/g^3 qui incite à poser h = 1/g² et les variables se séparent.

[hhh86]

Je suppose que l'équation c'est ton expression = 0
Pose effectivement g = f' et ensuite tu vois apparaître un g'/g^3 qui incite à poser h = 1/g² et les variables se séparent.

Oui c'est bien f''(x)+(af'(x)³/[(k-x)²])=0
Alors posons g = f', on a donc g'(x)+ag(x)³/(k-x)²=0
<==> g'(x)=-ag(x)³/(k-x)²
<==> g'(x)/g(x)³=-a/(k-x)²
Jusqu'ici, ça va
On pose h = 1/g²
h(x)g'(x)/g(x)=-a/(k-x)²
Après je ne sais pas faire

[ericcc]

Hmmm....que vaut h'(x) ?

[krikor]

bonjour hhh86

tu à y''/(y')^3=-a/(k-x)²

-1/(2y')²=1/(k-x)-1/c

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

bonjour hhh86

tu à y''/(y')^3=-a/(k-x)²

-1/(2y')²=1/(k-x)-1/c

Merci kricor, tu peux détailler un peu s'il te plait comment tu as trouvé -1/(2y')²=1/(k-x)-1/c

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[God's Breath]

Oui c'est bien f''(x)+(af'(x)³/[(k-x)²])=0
Alors posons g = f', on a donc g'(x)+ag(x)³/(k-x)²=0
<==> g'(x)=-ag(x)³/(k-x)²
<==> g'(x)/g(x)³=-a/(k-x)²
Jusqu'ici, ça va
On pose h = 1/g²

, donc , puis , et on continue de débobiner le calcul...

[hhh86]

, donc , puis , et on continue de débobiner le calcul...

Merci beaucoup
Donc h(x) = 2a/(k-x)+C
<==> 1/g²(x) = 2a/(k-x)+C
<==> g²(x) = 1/[2a/(k-x)+C]
<==> g(x) = racine(1/[2a/(k-x)+C]) ou g(x) = -racine(1/[2a/(k-x)+C])
Pour trouver f, il faut rouver la primitive de racine(1/[2a/(k-x)+C]) or je ne sais pas du tout comment faire

[God's Breath]

Il faudrait simplifier les écritures : , donc , et on calcule une primitive de cette dernière expression tout simplement par le changement de variable .

[hhh86]

Il faudrait simplifier les écritures : , donc , et on calcule une primitive de cette dernière expression tout simplement par le changement de variable .

Tu peux préciser ?

[krikor]

d(y')/(y')^3=a/(k-x)², integration,

-1/(2y')²=a/(k-x)-1/c=(ac-k+x)/c(k-x)

tu trouve y'=dy/dx=√(c/2)*√[(x-k)/(b+x)], b=ac-k

tu note (x-k)/(b+x)=z² et y=integrale....

voila...